雙曲複數

雙曲複數（英語：hyperbolic numbers或Split-complex number），是異於複數而對實數所做的推廣。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

雙曲複數乘數表

×	1	j
1	1	j
j	j	1

定義

考慮數${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是實數，而量${\displaystyle j}$不是實數，但${\displaystyle j^{2}}$是實數。

選取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般複數。取${\displaystyle +1}$的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

${\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}$

${\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}$

共軛、範數

對於${\displaystyle z=x+jy}$，其共軛值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$。對於任何雙曲複數${\displaystyle z,w}$，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$

可見它是自同構的。

定義內積為 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$ 。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$ ，說${\displaystyle z,w}$（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$。

除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法反元素。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$

由此可見，雙曲複數可逆當且僅當其平方範數非零。其形式均為${\displaystyle k(1\pm j)}$，其中${\displaystyle k}$是實數。

基

雙曲複數的冪等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$。有四個解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$ 。

若將${\displaystyle z=ae+be^{*}}$表示成${\displaystyle (a,b)}$，雙曲複數的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$ 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$，範數${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$。

幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐幾里得平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的${\displaystyle a}$，點集 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}}$ 是雙曲線。左邊和右邊的會經過${\displaystyle a}$和${\displaystyle -a}$。${\displaystyle a=1}$稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}}$ ，會分別經過${\displaystyle ja}$和${\displaystyle -ja}$。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =0\}}$ 分開。

歐拉公式的相應版本是${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$。

歷史

1848年James Cockle提出了雙複數。1882年威廉·金頓·克里福以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。