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數學上,自同構(automorphism)是從一個數學物件到自身的同構,可以看為這對象的一個對稱,將這對象映射到自身而保持其全部結構的一個途徑。一個對象的所有自同構的集合是一個群,稱為自同構群,大致而言,是這對象的對稱群。
自同構的精確定義,依賴於「數學物件」的種類,及這對象的「同構」的準確界定。可以定義這些概念的最一般情形,是在數學的一個抽象分支,稱為範疇論。範疇論是研究抽象對象和這些對象間的態射。
在範疇論中,自同構是一個自同態(即是一個對象到自身的一個態射)而同時為(範疇論所定義的)同構。
這是一個很抽象的定義,因為範疇論中,態射不一定是函數,對象不一定是集合。不過在更具象的情形中,對象會是有附加結構的集合,而態射會是保持這種結構的函數。
例如在抽象代數中,一個數學物件是代數結構,如群、環、向量空間等。一個同構就是對射的同態(同態按代數結構而定, 例如群同態、環同態、線性算子)。
恆等態射(恆等映射)在某些情況稱為平凡自同構。相對地,其他(非恆等)自同構稱為非平凡自同構。
如果一個對象X的自同構組成一集合(而不是一個真類)那麼這些自同構以態射複合運算組成一個群。這個群稱為X的自同構群。可以直接檢查這的確是一個群:
在一個範疇C中的一個對象X的自同構群,記為AutC(X),如果內文明顯看出該範疇,可簡記為Aut(X)。
群自同構的一個最早期的例子,是愛爾蘭數學家威廉·哈密頓在1856年給出。在他的Icosian calculus中,他發現了一個2階的自同構,[4] 寫道:
使得是新的五次單位根,與之前的五次單位根以完美互反性的關係相關聯。[5]
有一些範疇,特別是群、環、李代數,其中的自同構可以分為兩種,稱為「內」自同構和「外」自同構。
對群而言,內自同構就是群本身的元素的共軛作用。對一個群G的每個元素a,以a共軛是一個運算φa : G → G,定義為φa(g) = aga−1(或a−1ga;用法各異)。易知以a共軛是一個群自同構。內自同構組成 Aut(G)的一個正規子群,記作Inn(G)。
其他的自同構稱為外自同構。商群Aut(G) / Inn(G)通常記為Out(G);非平凡元素是包含外自同構的陪集。
在任何有單位元的環或代數中的可逆元素a,可以同樣定義內自同構。對於李代數,定義有少許不同。
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