虛數

虛數是指可以寫作實數與虛數單位${\displaystyle i}$乘積的複數^[1] ，並定義其性質為${\displaystyle i^{2}=-1}$，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值^[2]。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle i^{5}=i}$

${\displaystyle i^{6}=-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\pmod {4}}}}$

17世紀著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（法語：La Géométrie）一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛軸和實軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的「正」虛數，然後向上增加；而「負」虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為「虛軸」，並被表示為${\displaystyle i\mathbb {R} }$，Im，${\displaystyle \mathbb {I} }$，或${\displaystyle \Im }$。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。${\displaystyle i}$的乘法對應於「逆時針」方向的90度旋轉，而方程式${\displaystyle i^{2}=-1}$可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，「順時針」方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了${\displaystyle -i}$也解出了方程${\displaystyle x^{2}=-1}$。一般來說，乘以複數與以複數輻角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

更多資訊：平方根 § 負數與複數的平方根

我們應該將根號視為求${\displaystyle x^{2}}$的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$實際上代表的是兩個數，分別為${\displaystyle +i}$及${\displaystyle -i}$。但若直接將${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$對應到${\displaystyle +i}$，而${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$對應到${\displaystyle -i}$也未嘗不可。

性質

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：${\displaystyle 1<2\,}$成立，但${\displaystyle 1+i<2+i\,}$和${\displaystyle i<2i\,}$卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設${\displaystyle i>0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

再舉例：假設${\displaystyle i<0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$（不等式兩側同乘假設為負的${\displaystyle i}$，不等式由小於變為大於）

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲${\displaystyle i^{0}=1\,}$，${\displaystyle i^{1}=i\,}$，${\displaystyle i^{2}=-1\,}$，${\displaystyle i^{3}=-i\,}$，${\displaystyle i^{4}=1\,}$，${\displaystyle \cdots }$，很容易知道${\displaystyle i^{n}\,}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,}$）是關於指數${\displaystyle n\,}$的週期函數，最小正週期是${\displaystyle 4\,}$。於是，我們有

${\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}$

這表示${\displaystyle i\,}$為方程${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,}$的一個根，另三個根分別為${\displaystyle -i,-1\,}$及${\displaystyle 0\,}$。

另外可以證明

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$

和

${\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$

爲下列方程的根

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}$

${\displaystyle x^{3}=1\,}$

其中，${\displaystyle {\overline {\omega }}\,}$稱爲${\displaystyle \omega \,}$的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參見

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

參考資料

1. Uno Ingard, K. Chapter 2. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. 1988: 38 [2018-06-29]. ISBN 0-521-33957-X. （原始內容存檔於2021-04-28）.
2. Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. : 11.2 [2018-06-29]. ISBN 8171339123. （原始內容存檔於2021-05-07）.

外部連結

• 虛數i的介紹
• ${\displaystyle i^{7321}\,}$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根^{[永久失效連結]}