《數書九章 》又名《數學九章 》,共18卷,南宋 數學家 秦九韶 著於淳祐 七年(1247年)。
欽定《四庫全書 》 《數書九章》
宜稼堂 《數書九章》十八卷
《數書九章》題材廣泛,取自宋代社會 各方面,包括農業 、天文 、水利 、城市佈局、建築 工程、測量 、賦稅 、兵器 、軍旅等方面,是一部實用數學大全。
《數書九章》十八卷,分為九類,每類九問,共九九八十一問。
第一,二卷:一大衍類:蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。
第三,四卷:二天時類;推氣治歷,治歷推閏,治歷演紀,綴術推星,揆日究微,天池測雨,圓罌測雨,峻積驗雪,竹器驗雪。
第五,六卷:三田域類;尖田求積,三斜求積,斜蕩求積,計地容民,蕉田求積,均分梯田,漂田推積,環田三積,圍田先計。
第七,八卷:四測望類;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,望敵遠近,古池推元,表望浮圖。
第九,十卷:五賦役類;服邑修賦,圍田租畝,築梗均勞,寬減屯租,戶田均寬,均科綿稅,戶稅移割,移運均勞,均定勸分。
第十一,十二卷:六錢穀類;折解輕齎,算回運費,課糴貴賤,囤積量容,積倉知數,推知糴數,分定綱解,累收庫本,米穀粒分。
第十三,十四卷:七營建類;計定城築,樓櫓功料,計造石壩,計浚河渠,計作清台,堂皇程築,砌磚計積,竹圍蘆束,積木計余。
第十五,十六卷:八軍旅類;計立方營,方變銳陣,計布圓陣,圓營敷布,望知敵眾,均敷徭役,先計軍程,軍器功程,計造軍衣。
第十七,十八卷:九事物類;推求物價,均貨攤本,互易推本,菽粟互易,推計互易,煉金計值,推本求息,推求典本,僦值推原。
《數書九章》 三斜求積
表望浮屠
宜稼堂 《數書九章》正負開三乘方圖
遙度圓城
秦九韶大衍術
用分數 計算折扣 ;折解輕齎,米穀粒分,課糴貴賤。
百分比 計算;煉金計值,推求典本,累收庫本。
比例 ;先計軍程,均科綿稅,堂皇程築,軍器功程,互易推本,菽粟互易,推計互易。
盈不足術 ;計造軍衣。
級數 ;綴術推星,計造石壩,積木計余,圓營敷布,竹圍蘆束,推本求息,計立方營。
《數書九章》第五卷 第二問「三斜求積」。
問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知為田幾何?
答曰:田積三百一十五頃。
術曰:以少廣求之。以小斜冪並大斜冪減中斜冪,余半之,自乘於上。以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,為實。一為從隅,開平方之,得積。
其中,「三斜」即「大斜」、「中斜」、「小斜」,是三角形從大到小的三條邊。秦九韶列出的面積公式是:
A
=
1
4
[
a
2
c
2
−
(
a
2
+
c
2
−
b
2
2
)
2
]
{\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}
,其中
a
≥
b
≥
c
{\displaystyle a\geq b\geq c}
,
這個公式和海倫公式 是等價的。
重差 測量;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,表望浮圖。
均分梯田,古池推元,囤積量容,計布圓陣,推知糴數,尖田求積,環田三積,遙度圓城。
秦九韶的《數書九章 》詳細敘述二十六個二次到十次方程的的實數根的數值解,其中包含二十個二次方程,一個三次方程,四個四次方程和一個十次方程 [ 1] 。三上義夫 指出,秦九韶算法起源於漢代《九章算術 》的開方 法。前蘇聯數學史家尤什克維奇 說「這是中國傳統數學 最偉大成就之一」,他還說印度人不知有此方法,而阿拉伯 數學家可能從中國先人傳入此方法[ 2] ,六百年之後,英國數學家威廉·喬治·霍納 重新發現此法。
《數書九章》「《遙度圓城》」 題列出一個十次方程,求解圓城的直徑:
x
10
+
15
x
8
+
72
x
6
−
864
x
4
−
11664
x
2
−
34992
=
0
{\displaystyle x^{10}+15x^{8}+72x^{6}-864x^{4}-11664x^{2}-34992=0}
,得精確解
x
=
3
{\displaystyle x=3}
[ 3] 。
線性方程組的消元法起源於《九章算術》卷八《方程》章。秦九韶在《數書九章》卷17第73問發展了《九章算術》的消元法,創造了互乘消元法[ 4] 。
蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。
古歷會積,求上元積年
推氣置歷,求冬至時間。
治歷推閏,
治歷演記,求上元積年。
綴術推星,計算木星 的運行速度。
揆日究微。
吳文俊 主編:《中國數學史大系 》,第五卷,第三、四、五編。
[比利時]李倍始 (Ulrich Libbrecht): Chinese Mathematics in the Thirteen Century (The Shu-Shu-Chiu-Chang of Chin Chiu shao) . Dover Publication. ISBN 0486446190
秦九韶 原著,王守義 遺著,李儼 審校:《數書九章新釋》。安徽科學技術出版社,1992。ISBN 7-5337-0788-5 /O
吳文俊 主編:《秦九韶與數書九章》。北京師範大學出版社 ,1987。
李儼:《大衍求一術的過去和未來》。《李儼錢寶琮科學史全集》,卷6,116-163。遼寧教育出版社 。