子式和餘子式

在線性代數中，一個矩陣A的子式是指將A的某些行與列的交點組成的方陣的行列式；而A的餘子式（又稱餘因式或餘因子展開式，英語：minor）是指將A的某些行與列去掉之後所餘下的方陣的行列式，其相應的方陣有時被稱為余子陣。

此條目介紹的是線性代數中的概念。關於圖論中的子式，請見「圖子式」。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

將方陣A的一行與一列去掉之後所得到的餘子式可用來獲得相應的代數餘子式（英語：cofactor），後者在可以通過降低多階矩陣的階數來簡化矩陣計算，並能和轉置矩陣的概念一併用於逆矩陣計算。

不過應當注意的是，餘子式和代數餘子式兩個概念的區別。在數值上，二者的區別在於，餘子式只計算去掉某行某列之後剩餘行列式的值，而代數餘子式則需要考慮去掉的這一個元素對最後值正負所產生的影響。

定義

設A為一個 m×n 的矩陣，k為一個介於1和m之間的整數，並且k≤n。A的一個k階子式是在A中選取k行k列之後所產生的k²個交點組成的方塊矩陣的行列式。

A的一個k階餘子式是A去掉了k行與k列之後得到的(m-k)×(n-k)矩陣的行列式。

由於一共有${\displaystyle {m \choose k}}$種方法來選擇該保留的行，有${\displaystyle {n \choose k}}$種方法來選擇該保留的列，因此A的k階餘子式一共有${\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$個。

如果m=n，那麼A關於一個k階子式的餘子式，是A去掉了這個k階子式所在的行與列之後得到的(n-k)×(n-k)矩陣的行列式，簡稱為A的k階餘子式^[1]。

n×n的方塊矩陣A關於第i行第j列的餘子式M_ij是指A中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為A的（i，j）餘子式。

代數餘子式和伴隨矩陣

一個矩陣A的(i, j)代數餘子式：C_ij 是指A的(i, j)餘子式M_ij與(−1)^{i + j}的乘積：

C_ij = (−1)^{i + j} M_ij

A的餘因子矩陣是指將A的(i, j)代數餘子式擺在第i行第j列所得到的矩陣，記為C。

C的轉置矩陣稱為A的伴隨矩陣，伴隨矩陣類似於逆矩陣，並且當A可逆時可以用來計算它的逆矩陣。

例子

對矩陣

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}$

要計算代數餘子式C₂₃。首先計算餘子式M₂₃，也就是原矩陣去掉第2行和第3列後的子矩陣的行列式：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$，即 ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=9-(-4)=13}$

因此，C₂₃等於(-1)²⁺³ M₂₃ ${\displaystyle =-13}$

應用

餘子式和代數餘子式最常在拉普拉斯展開中出現，用於將矩陣的行列式展成若干個小一階的行列式之和。

給定一個m×n的實系數矩陣，設它的秩為r那麼至少存在一個r階的非零子式，同時所有大於r階的 子式必然都是0。

設A是一個m×n的矩陣，I是集合{1,...,m}的一個k元子集，J是集合{1,...,n}的一個k元子集，那麼[A]_I,J表示A的k階子式。其中抽取的k行的行標是I中所有元素，k列的列標是J中所有元素。

• 如果I=J，那麼稱[A]_I,J是A的主子式。
• 如果I=J={1,...,k}（所取的是左起前k列和上起前k行），那麼相應的主子式被稱為順序主子式。一個n×n的方塊矩陣有n個順序主子式。
• 對於埃爾米特矩陣，順序主子式的符號被用來判定矩陣的正定性。

常見的矩陣乘法和柯西-比內公式都是以下計算子式乘積公式的特例： 設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，I是集合{1,...,m}的一個k元子集，J是集合{1,...,p}的一個k元子集，那麼

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

其中子集K 取遍{1,...,n} 的所有k元子集。這個公式是柯西-比內公式的推論。

多線性代數

子式的一個更為對稱和代數化的定義可以通過多線性代數中的外積給出：k階子式是k階外冪的系數。

如果將矩陣的k列看做k個向量並在一起，那麼它的k階子式就是k階外冪映射到的k-向量中的系數。比如說，以下矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{bmatrix}}}$

的2階子式是−13、−7和5。現在考慮外積

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$

其中的兩個向量對應着矩陣的2個列。注意外積的性質：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0}$

以及

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$

我們得到其外積為：

${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

其中的系數正好是三個2階子式的值。

參見

• 行列式
• 餘因子矩陣
• 拉普拉斯展開

參考來源

引用

1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William. Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form. 1886 [2022-03-23]. （原始內容存檔於2019-05-02）.

來源

• 拉普拉斯定理^{[永久失效連結]}
• 行列式
• 藍以中，高等代數簡明教程（下冊），北京大學出版社