可分多項式

數學中，可分多項式在不同的作者的書下有兩個略微不同的定義。

最常見的一個定義是：當在一個給定域K上的多項式P(X)在K的代數閉包中有不同的根時，稱多項式為可分的。換言之它的互異根的數量需要等於多項式的次數^[1]。在多項式因式分解的觀點下，這樣的多項式是無平方多項式。

第二個定義，當P(X)在K[X]中的每個不可約因子在K的代數閉包中的根互不相同，此時稱P(X)是可分的。這意味着每個不可約因子是無平方項的^[2]。在這個定義中，可分性依賴於K，比如任何一個不可分的不可約多項式P在它的分裂域上都變成可分的了。並且在這個定義下，每個完美域上的多項式是可分的，這包含了0特徵域和所有有限域。

兩個定義對於K上不可約多項式是等價的，這個被用來定義域K的可分擴張。

在條目的餘下部分我們只用第一個定義。

一個多項式可分若且唯若它與它的形式導數P'(X)互素。

域的可分擴張

可分多項式被用於定義可分擴張：一個域擴張${\displaystyle K\subset L}$是一個可分擴張若且唯若對任意的代數元${\displaystyle \alpha \in L}$，${\displaystyle \alpha }$在K上的極小多項式是可分多項式。

不可分擴張只可能在特徵為p的域上出現。

由定義可以立馬得到如果P是不可約的並且不可分，那麼P'(X)=0.因此必須有：

P(X) = Q(X^p)

對某個K上多項式Q成立，當中p是K的特徵。

對此，我們能夠構造一個例子：

P(X) = X^p − T

當中K是在有限域F_p上的不定元T的有理函數組成的域。 這裏可以直接證明P(X)是不可約的，並且不可分。事實上這是為什麼不可分性需要被強調的一個例子；用幾何的語言來說，P代表了有限域上的一個射影直線，將坐標取p次冪。這樣的映射對有限域上的代數幾何是基礎的。換言之，存在一些不能用伽羅華理論來描述的覆蓋。（見根態射（radical morphism）條目尋找更高層次的闡述）

若L是域擴張

K(T^1/p),

換言之是P的分裂域，則L/K是一個純不可分域擴張的例子。它的次數是p，但是除了恆等映射沒有保K不變的態射，因為T^1/p是P的唯一一個根。這直接證明了伽羅華理論在這裏不適用。一個沒有此類擴張的域稱為完美域。

可以證明L和它自己在K上的張量積有非零的冪零元。這又一次證明了不可分性：這是說域上的張量積操作不需要形成一個域的積環（因此沒有交換的半單環）。

若P(X)是可分的，且它的根形成了一個群（域K的子群），則P(X)稱為一個加性多項式。

伽羅華理論中的應用

可分多項式常在伽羅華理論中出現。

比如，令P是一個整係數不可約多項式而p是一個不整除P首項係數的素數。Q是有限域F_p上的上由P模p約化而來的多項式。則若Q可分則Q不可約因子的次數是P的伽羅華群的某個置換的長度。

另一個例子：P同上，一個群G的預解式R是一個係數為p為係數的多項式的多項式，R提供了關於P的伽羅華群的信息。更準確的說，若R是可分的並且有有理根則P的伽羅華群包含於G。例如若D是P的判別式，則X²-D是交錯群的預解式。當P是可約的這個預解式總是可分的，但是大多的預解式是不可分的。

參考資料

1. S. Lang, Algebra, p. 178
2. N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233

• Pages 240-241 of Lang, Serge, Algebra Third, Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., 1993, ISBN 978-0-201-55540-0