數學 中，幾何代數 （也稱作實克利福德代數 ）是初等代數 的推廣，用於處理向量 等幾何對象。幾何代數由加法與幾何積兩種基本運算組成，向量的乘積是更高維對象，稱作多重向量 。與其他處理幾何對象的形式相比，幾何代數在支持不同維度的對象的向量除法與加法方面具有優勢。
幾何積最早由赫爾曼·格拉斯曼 簡單提及，:6 他的興趣主要在於發展與之緊密相關的外代數 。1878年，威廉·金頓·克利福德 大大擴展了格拉斯曼的工作，形成現在所謂克利福德代數 以紀念他（雖然克利福德自己稱之為「幾何代數」）。克利福德將克利福德代數及其積定義為格拉斯曼代數 和哈密頓的四元數代數 的統一。加上格拉斯曼外積的對偶 （「相遇」）就可以使用格拉斯曼–凱萊代數 ，後者的共形版本 與共形克利福德代數一起產生了共形幾何代數 （CGA），為經典幾何 提供了框架。:411 實踐中，這些運算和一些可派生運算可將代數的元素、子空間、運算同幾種幾何解釋對應起來。幾十年來，幾何代數有些被忽視了，因為當時為描述電磁學產生的向量分析 擠佔了幾何代數的地盤。1960年代，「幾何代數」由大衛·黑斯廷斯 重新發掘出來，主張其對相對論物理學的重要性。
純量和向量有其通常的解釋，並構成幾何代數的不同子空間。二重向量 可更自然地表示向量分析 中的偽向量，如有向面積、旋轉的有向角度、撓、角動量與電磁場。三重向量可表示有向體積，等等。稱作刃 的元素可用於表示V 的子空間，及其上的正交投影 。旋轉與反射也可用元素表示。不同於向量分析，幾何代數可自然地容納任何維度和任何二次型，如相對論 中的二次型。
幾何代數在物理學中的應用有時空代數 （及不太常見的物理空間代數 ）與共形幾何代數 。幾何微積分 是幾何代數的推廣，包含了微分 和積分 ，可用於形成其他理論，如複分析 和微分幾何 ，例如用克利福德代數代替微分形式 。大衛·黑斯廷斯和Chris Doran等人一直主張將幾何代數作為物理學 的主要數學框架。支持者聲稱，幾何代數為包括經典力學 、量子力學 、電磁學 、相對論 等許多領域提供了緊湊而直觀地描述。幾何代數還被用作計算機圖形學 [ 7] 機械人學 的計算工具。
幾何代數有多種定義。黑斯廷斯最初的定義是公理化的、:3–5 「充盈着幾何意義」，等價於泛克利福德代數。:101 給定域 F 上的有限維向量空間V ，並配備對稱雙線性形式（即內積，如歐氏或洛倫茲度量 ）
g
:
V
×
V
→
F
{\displaystyle g:V\times V\to F}
二次空間
(
V
,
g
)
{\displaystyle (V,g)}
幾何代數 是克利福德代數
Cl
(
V
,
g
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}
F
=
R
{\displaystyle F=\mathbb {R} }
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}
G
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}
g 具有符號
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle (p,q,r)}
代數中的本質積稱作幾何積，包含的外代數的積稱作外積（更多叫楔積 [ a]
∧
{\displaystyle \wedge }
A
,
B
,
C
∈
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}
A
B
∈
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}
封閉 ）
1
A
=
A
1
=
A
{\displaystyle 1A=A1=A}
1
{\displaystyle 1}
單位元 的存在）
A
(
B
C
)
=
(
A
B
)
C
{\displaystyle A(BC)=(AB)C}
結合律 ）
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
(
B
+
C
)
A
=
B
A
+
C
A
{\displaystyle (B+C)A=BA+CA}
分配律 ）
a
2
=
g
(
a
,
a
)
1
{\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}
a 是代數子空間V 的任意元素。外積具有相同的性質，只是最後一條改為
a
∧
a
=
0
,
∀
a
∈
V
{\displaystyle a\wedge a=0,\ \forall a\in V}
注意，在上述最後一個性質中，若g 不是正定的，則實數
g
(
a
,
a
)
{\displaystyle g(a,a)}
∀
a
→
{\displaystyle \forall {\vec {a}}}
a
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}\neq 0}
a
−
1
{\displaystyle a^{-1}}
g
(
a
,
a
)
−
1
a
{\displaystyle g(a,a)^{-1}a}
u
→
∈
V
{\displaystyle {\vec {u}}\in V}
u
2
=
1
{\displaystyle u^{2}=1}
1
2
(
1
+
u
)
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}
零除子 ，於是沒有逆。[ b]
通常將
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V 與其在自然嵌入
R
→
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}
V
→
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V 的元素（及它們在此嵌入下的像）。
給定兩向量a 、b ，若其幾何積
a
b
{\displaystyle ab}
a
⋅
b
=
0
{\displaystyle a\cdot b=0}
a
∧
b
=
0
{\displaystyle a\wedge b=0}
實外代數中
n 次元素的幾何解釋：
n
=
0
{\displaystyle n=0}
（有符號點）、
1
{\displaystyle 1}
（有向線段或向量）、
2
{\displaystyle 2}
（有向面元）、
3
{\displaystyle 3}
（有向體積） 。
n 個向量的外積可直觀視作任何
n 維形狀（如
n -
超平行體 、
n -
橢球 ）；其大小（
超體積 ）和
方向 由(n-1)維邊界上的方向和內部哪一邊的方向定義。
:83 可將任意兩向量a 、b 的幾何積寫成對稱積與反對稱積之和：
a
b
=
1
2
(
a
b
+
b
a
)
+
1
2
(
a
b
−
b
a
)
{\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)}
於是可以定義內積[ c]
a
⋅
b
:=
g
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}
於是，對稱積可寫作
1
2
(
a
b
+
b
a
)
=
1
2
(
(
a
+
b
)
2
−
a
2
−
b
2
)
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b}
反之，g 完全由代數決定。反對稱部分是兩個向量的外積，即含外代數 部分之積：
a
∧
b
:=
1
2
(
a
b
−
b
a
)
=
−
(
b
∧
a
)
{\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)}
那麼從簡單加法就能有：
a
b
=
a
⋅
b
+
a
∧
b
{\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}
內外積與標準向量代數中的相應概念有關。幾何上，若a 和b 的幾何積等於其內積，則就是平行 的；若等於其外積，則就是垂直 的。在幾何代數中，非零向量的平方都是正的，因此兩向量的內積可視作標準向量代數的點積 。兩向量外積可用向量形成的平行四邊形 所包圍的有向面積 來表示。3維中具有正定二次型的兩向量之叉積 與其外積密切相關。
大多數相關幾何代數的實例都具有非退化二次型 。若二次型是完全退化的，則任意兩向量的內積總是零，幾何代數就是簡單的外代數。除非另有說明，本文只討論非退化幾何代數。
外積可自然推廣為代數中任意兩元素之間的結合雙線性算子，且滿足
1
∧
a
i
=
a
i
∧
1
=
a
i
a
1
∧
a
2
∧
⋯
∧
a
r
=
1
r
!
∑
σ
∈
S
r
sgn
(
σ
)
a
σ
(
1
)
a
σ
(
2
)
⋯
a
σ
(
r
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}
其中，和是對指數的所有排列，
sgn
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
交替代數 。
克利福德代數的等價結構方程為:2338 :2346
a
1
a
2
a
3
…
a
n
=
∑
i
=
0
[
n
2
]
∑
μ
∈
C
(
−
1
)
k
P
f
(
a
μ
1
⋅
a
μ
2
,
…
,
a
μ
2
i
−
1
⋅
a
μ
2
i
)
a
μ
2
i
+
1
∧
⋯
∧
a
μ
n
{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}
其中
P
f
(
A
)
{\displaystyle Pf(A)}
A 的普法夫值 ，
C
=
(
n
2
i
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}
n 個索引分為2i n-2i 組合
μ
{\displaystyle \mu }
k 是組合 的奇偶性 。
普法夫值為外代數提供了度量。另外，正如Claude Chevalley指出的，克利福德代數可還原為二次型為零的外代數。從幾何角度看，可從單純形 出發，發展克利福德代數，來理解普法夫值所起的作用。這種推導為楊輝三角 和單純形之間提供了更好的聯繫，因為提供了對楊輝三角第一層一個1的解釋。
多重向量是r 個線性獨立向量的外積，稱作一個刃（blade），次數為r （grade）。[ e] r 次刃之和形成的多重向量稱作（齊性）r 次多重向量。根據公理與閉包，幾何代數中的多重向量都是刃之和。
考慮r 次線性獨立向量集合
{
a
1
,
…
,
a
r
}
{\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}
r 維子空間，之後就可定義實對稱矩陣 （與構造格拉姆矩陣 的方法相同）：
[
A
]
i
j
=
a
i
⋅
a
j
{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}
根據譜定理 ，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
正交矩陣
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
對角矩陣
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
∑
k
,
l
[
O
]
i
k
[
A
]
k
l
[
O
T
]
l
j
=
∑
k
,
l
[
O
]
i
k
[
O
]
j
l
[
A
]
k
l
=
[
D
]
i
j
{\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}
定義一組新的向量
{
e
1
,
…
,
e
r
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}
e
i
=
∑
j
[
O
]
i
j
a
j
{\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}
由於正交變換保內積，所以
e
i
⋅
e
j
=
[
D
]
i
j
{\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}
{
e
1
,
…
,
e
r
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}
e
i
≠
e
j
{\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}
e
1
e
2
⋯
e
r
=
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
r
=
(
∑
j
[
O
]
1
j
a
j
)
∧
(
∑
j
[
O
]
2
j
a
j
)
∧
⋯
∧
(
∑
j
[
O
]
r
j
a
j
)
=
(
det
O
)
a
1
∧
a
2
∧
⋯
∧
a
r
{\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}
於是，r 次刃都可寫作r 個向量的外積。更一般地，若允許退化幾何代數，則正交矩陣將被替換為非退化塊中正交的分塊矩陣 ，對角陣的零值項沿退化維度分佈。若非退化子空間的新向量是歸一化的單位向量：
e
^
i
=
1
|
e
i
⋅
e
i
|
e
i
,
{\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}
則這些歸一化向量必須平方為
±
1
{\displaystyle \pm 1}
西爾維斯特慣性定理 指出，沿對角陣的
+
1
{\displaystyle +1}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
p 、得
−
1
{\displaystyle -1}
q 也是不變的。（平方為零的基向量總數也不變，若允許退化情形，則可能不為零。）記此代數為
G
(
p
,
q
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}
G
(
3
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}
歐氏空間 的模型，
G
(
1
,
3
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}
時空 。
G
(
4
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}
共形幾何代數 。
索引依次遞增的n 個正交基向量的所有可能積集合，包括作為空積的
1
{\displaystyle 1}
PBW定理 ）。例如，下面是幾何代數
G
(
3
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}
{
1
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
1
e
2
,
e
2
e
3
,
e
3
e
1
,
e
1
e
2
e
3
}
{\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}
這樣形成的基稱作規範基 ，V 的任何其他正交基都會產生另外的規範基。每個規範基都有
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
{
B
i
∣
i
∈
S
}
{\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}
S 是索引集，則任意兩多重向量的幾何積是
(
∑
i
α
i
B
i
)
(
∑
j
β
j
B
j
)
=
∑
i
,
j
α
i
β
j
B
i
B
j
.
{\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}
在描述只含1次元素的多重向量時，常用「
k
{\displaystyle k}
k 個向量的外積）。舉例來說，
G
(
4
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}
e
1
∧
e
2
+
e
3
∧
e
4
{\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}
0
,
1
,
(
n
−
1
)
,
n
{\displaystyle 0,1,(n-1),n}
n -空間中還是刃。
時間順序排列 Grassmann, Hermann , Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert , Leipzig: O. Wigand, 1844 [2023-12-31 ] , OCLC 20521674 存檔 於2023-10-09）Clifford, Professor. Applications of Grassmann's Extensive Algebra. American Journal of Mathematics. 1878, 1 (4): 350–358. JSTOR 2369379 doi:10.2307/2369379 Artin, Emil , Geometric algebra, Wiley Classics Library, Wiley, 1988 [1957], ISBN 978-0-471-60839-4MR 1009557 doi:10.1002/9781118164518 Hestenes, David , Space–time Algebra, Gordon and Breach, 1966, ISBN 978-0-677-01390-9OCLC 996371 Wheeler, J. A.; Misner, C.; Thorne, K. S., Gravitation , W.H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 Bourbaki, Nicolas , Ch. 9 "Algèbres de Clifford" , Eléments de Mathématique. 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R
3
,
3
{\displaystyle \mathbf {R} ^{3,3}}
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English translations of early books and papers
研究組
Quick Facts 線性代數, 向量 ...
線性代數
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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![{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b517d6e61b33a4c3398535f4aaface77a1da887e)
![{\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5207597ca24e5f3fc11785e33dd676e5565e164f)
![{\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c169d06e467c5c7959e7da65c5b01b1bb89a4d05)
![{\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb80eb1d95f0720fd0d25abff339a0aed390074e)
![{\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4620f4330bb5f5260c8978c2b7340df0c54f3725)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426956a7cc82e46726be135237774216bddee9f2)
