對稱雙線性形式

對稱雙線性形式是在向量空間上的對稱雙線性形式。它們在正交極性和二次曲面的研究中非常重要。

定義

設 V 在域 K 上的 n 維向量空間。映射 ${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v)}$ 是這個空間上的對稱雙線性形式，如果:

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

最後兩個公理只蘊涵在第一個參數中的線性，但是第一個公理直接蘊涵了在第二個參數中的線性。

矩陣表示

設 ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ 是 V 的基。定義 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣 A 通過 ${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})\,}$。矩陣 A 是對稱的完全由於雙線性形式的對稱性。如果 ${\displaystyle n\times 1}$ 矩陣 x 表示關於這個基的一個向量 v，類似的 y 表示 w，則 ${\displaystyle B(v,w)\,}$ 給出為:

${\displaystyle x^{T}Ay=y^{T}Ax\,}$。

假設 C' 是 V 的另一個基，有着可逆的 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣 S 使得: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$。現在對稱雙線性形式的新矩陣表示給出為

${\displaystyle A'=S^{T}AS\,}$。

正交性和奇異性

對稱雙線性形式總是自反的。定義兩個向量 v 和 w 是關於雙線性形式 B 是正交的，如果 ${\displaystyle B(v,w)=0}$，由於自反性它等價於 ${\displaystyle B(w,v)=0}$。

雙線性形式 B 的根是正交於 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以輕易查出它是 V 的子空間。在使用關於特定基的矩陣表示 A 的時候，由 x 表示的 v 在根中，若且唯若

${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{T}A=0.}$

矩陣 A 是奇異的，若且唯若根是不平凡的。

如果 W 是 V 的子空間，則正交於 W 中所有向量的集合 ${\displaystyle W^{\perp }}$ 也是子空間。當 B 的根是平凡的時候，${\displaystyle W^{\perp }}$ 的維度是 n − dim(W)。

正交基

基 ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ 關於 B 是正交的，若且唯若:

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

在域的特徵不是2的時候，總存在正交基。這可以通過歸納法證明。

基 C 是正交的，若且唯若矩陣表示 A 是對角矩陣。

西爾維斯特慣性定理與慣性指數

一般情況下，西爾維斯特發現的慣性定理聲稱，在K為有序域的時候，簡化後的二次型的矩陣表示中的對角元素等於 0、正或負的數目獨立於正交基的選擇。後兩個數被稱為雙線性形式的正、負慣性指數^[1]。

實數情況

當工作於在實數上的空間的時候，可以走的遠一點。 設 ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ 是正交基。

我們定義一個新基 ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}=\left\{{\begin{matrix}e_{i}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{matrix}}\right.}$

現在，新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0,1 和 -1 的對角矩陣。零將出現若且唯若根是非平凡的。

複數情況

當工作於在複數之上的空間中的時候，可以相當容易的走的更遠一點。 設 ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ 是正交基。

我們定義新的基 ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$ :

${\displaystyle e'_{i}=\left\{{\begin{matrix}e_{i}&{\mbox{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\mbox{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{matrix}}\right.}$

現在新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0 和 1 的對角矩陣。零將出現若且唯若根是非平凡的。

正交極性

設 B 是雙線性形式，它帶有不同於 2 的特徵的域 K 上的空間 V 上的根。現在可以定義從 V 的所有子空間的集合 D(V) 到自身的映射:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }}$

這個映射是在投影空間 PG(W) 上的正交極性。反過來說，你可以證明所有正交極性可以用這種方式引出，並且帶有平凡根的兩個對稱雙線性形式引發同樣的極化，若且唯若它們差一個純量乘法。

參考文獻

1. [1]^{[永久失效連結]}