P進賦值

在數論上，一個整數n的p進賦值指的是能除盡n的質數p的最高次方，一般記做${\displaystyle \nu _{p}(n)}$。一個等價的定義是，${\displaystyle \nu _{p}(n)}$是n的質因數分解中p的次方數。

p進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數${\displaystyle \mathbb {R} }$中的完備化一般，p進絕對值是有理數在P進數${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.^[1]

自然數在2進賦值中的分佈，並加上十進位中的2的次方做標籤；0的賦值為無限。

定義與性質

以下假定p為質數。

整數

整數n的p進賦值定義如下：

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {N} }$是自然數的集合，而${\displaystyle m\mid n}$代表${\displaystyle n}$可被${\displaystyle m}$整除。特別地，${\displaystyle \nu _{p}}$的定義域及值域如次：${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$.^[2]

像例如說，${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$, ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$，而${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ since ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$。

${\displaystyle p^{k}\parallel n}$這符號有時用以表示${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$。^[3]

若${\displaystyle n}$是一個正整數，那麼有

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$

而這可由${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$直接推得。

有理數

p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上：

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^[4][5]

其定義如下：

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)}$

像例如說，${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$且${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$，而這是因為${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$之故。

有理數上的賦值其中一些性質如下：

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

此外，若${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$，那麼

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

其中${\displaystyle \min }$是最小值（也就是兩者中較小者）。

p進絕對值

有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$的p進絕對值定義如下：

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

而其定義為

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

因此對所有的${\displaystyle p}$而言，${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$；而一個p進絕對值的例子如次：${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ and ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8}$

p進絕對值滿足下列性質：

非負性	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
正定性	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
積性	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
非阿基米德性	${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

由積性${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$可知，對於單位根${\displaystyle 1}$和${\displaystyle -1}$而言，${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$，因此這表示說${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}}$；而次可加性${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$可由非阿基米德三角不等式${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$得出。

對${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$這個冪的基底p的選取不會影響其性質；然而有以下的性質：

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值，而此處常規絕對值記做${\displaystyle |r|_{0}}$。

這項可由質因數分解得出：質因數的冪${\displaystyle p^{k}}$會成為相對應的p進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。

一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」；^{[來源請求]}然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。

一個度量空間可用如下（非阿基米德且平移對稱（英語：Translational symmetry）的）度量由${\displaystyle \mathbb {Q} }$生成：

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

其定義為

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

以此度量對有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$所做的完備化即p進數的集合${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

參見

• p進數
• 阿基米德公理
• 重複度
• 奧斯特洛夫斯基定理
• 勒讓德定理

參考資料

1. 中的完備化。Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3.
3. Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. 再延伸的數線上，這帶有一般的序關係，也就是說

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   及算術關係

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$

5. Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.