三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

在三角形中，兩條邊的長度之和總是大於第三邊。

證明所用的三角形

幾何

純量

在三角形ABC中，這個式子用純量可以寫作${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}}$。

當該式取不等號時，可以由歐幾里得第五公設導出；歐幾里得給出的證明記載於《幾何原本》第一卷命題20：（證明所用的輔助圖像見右）^[1]

現在，我們有三角形ABC。延長${\displaystyle {\overline {AB}}}$至點D，並使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$，聯結${\displaystyle {\overline {DC}}}$。

那麼，三角形BCD為等腰三角形，所以${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$。記它們均為${\displaystyle \alpha }$。

根據歐幾里得第五公設，角${\displaystyle \beta }$也就是${\displaystyle \angle ACD}$大於角${\displaystyle \alpha }$（${\displaystyle \angle BCD}$，也就是${\displaystyle \angle BDC}$）；

由於角${\displaystyle \beta }$對應邊${\displaystyle {\overline {AD}}}$，角${\displaystyle \alpha }$對應邊${\displaystyle {\overline {AC}}}$，因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$（大角對大邊，命題19）。^[2]

又由於${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$，所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$，即證。

如果我們將該式左右各減去${\displaystyle {\overline {BC}}}$，便能得到${\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}}$，這便是三角不等式的另一種表達方法：三角形的兩邊之差小於第三邊。

當該式取等號的時候，其已經不屬於歐氏幾何的範疇，這種情況只有可能在球面三角形中出現，此時${\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}$，而a, b, c為三角形三邊的長。

向量

用向量的寫法，這個不等式可以寫成：

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$

上式和純量的寫法明顯是等價的。

考慮到${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$，該式也可以寫成：${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}$，這種情況的形式和下方實數中的形式是一致的。

如果根據向量構建平面直角坐標系，則可以用代數的方式予以證明。

還是以右圖中的三角形為例子。假設在坐標系中，向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$的方向向量為${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$，向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$的方向向量為${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$，

那麼因為${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}}$，得向量${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$的方向向量為${\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$。

因此，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}}$。

所以，${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}}$。

而${\displaystyle (2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}^{2}y_{2}^{2}+4x_{2}^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$，${\displaystyle (2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}$，

兩者相減再配方，得到${\displaystyle (2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1})^{2}}$，該式實際上是${\displaystyle (\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}}$的值。

若且唯若${\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}}$時，該式的值為0，而此時我們可以推出${\displaystyle x_{1}=kx_{2},y_{1}=ky_{2},k\in \Re }$，這說明${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$、${\displaystyle y_{1}}$和${\displaystyle y_{2}}$都是平行的。而由於${\displaystyle x_{1}}$，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$的終點和${\displaystyle x_{2}}$，也就是向量${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$的起點是相同的，顯然${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$共線。這種情況在歐氏幾何中是不可能的，只有在非歐幾何的情況下才能成立。用${\displaystyle y_{1}}$和${\displaystyle y_{2}}$平行也一樣能夠推出${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$和${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$共線。

其他任何情況，也就是${\displaystyle x_{1}y_{2}\neq x_{2}y_{1}}$時，該式取到不等號，適用於歐氏幾何。

將向量形式的三角不等式兩邊減去相同的向量，同樣能夠推出三角形的兩邊之差小於第三邊。

實數

在實數中，此式依然成立：${\displaystyle \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}$。

證明如下：

考慮到實數的平方必然是非負數，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}}$

${\displaystyle 2ab\leq \left|2ab\right|}$

對於${\displaystyle (a<0,b>0)\lor (b<0,a>0)}$（即a, b彼此異號），${\displaystyle 2ab<\left|2ab\right|}$；

對於${\displaystyle (a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)}$（即a, b彼此同號），${\displaystyle 2ab=\left|2ab\right|}$。

像幾何中的情況一樣，該式的推論為：${\displaystyle \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}$。

反方向

在閔考斯基時空，三角不等式是反方向的：

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     對所有 x, y ${\displaystyle \in }$ V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 t_x t_y ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見

• 次可加性

參考文獻

1. Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. （原始內容存檔於2017-08-15）.
2. Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. （原始內容存檔於2021-12-08）.