單位根

數學上，${\displaystyle \,n\,}$次單位根是${\displaystyle \,n\,}$次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正多邊形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

複平面上的三次單位根

定義

${\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$

這方程的複數根 ${\displaystyle z\,}$為${\displaystyle n\,}$次單位根。

單位的 ${\displaystyle n\,}$次根有 ${\displaystyle n\,}$個：

${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}\qquad (k=0,1,2,\cdots ,n-1)}$。

本原根

單位的 ${\displaystyle n\,}$次根以乘法構成${\displaystyle n}$階循環群。它的生成元是 ${\displaystyle n\,}$次本原單位根。${\displaystyle n\,}$次本原單位根是${\displaystyle e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}}$，其中${\displaystyle k\,}$和${\displaystyle n\,}$互質。${\displaystyle n\,}$次本原單位根數目為歐拉函數${\displaystyle \varphi (n)}$。 全體i次單位根對普通乘法作成群，即i次單位根群。所有全體i次單位根群在普通乘法下也可作成群，且這是一個無限交換群，這個無限交換群里的每個元素的階都有限。

例子

一次單位根有一個: ${\displaystyle 1\,}$。

二次單位根有兩個: ${\displaystyle 1\,}$和${\displaystyle -1\,}$，只有${\displaystyle -1\,}$是本原根。

三次單位根是

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}$

其中${\displaystyle {i}}$是虛數單位；除${\displaystyle 1\,}$外都是本原根。

四次單位根是

${\displaystyle \left\{1,i,-1,-i\right\},}$

其中${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$是本原根。

和式

當${\displaystyle n\,}$不小於${\displaystyle 2\,}$時，${\displaystyle n\,}$次單位根總和為${\displaystyle 0\,}$。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi k{i}}{n}}={\frac {e^{\frac {2\pi {n}i}{n}}-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}={\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi {i}}{n}}-1}}=0}$。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與系數的韋達定理，由分圓方程的${\displaystyle x^{n-1}\,}$項系數為零得出。