非線性系統

在物理科學中，如果描述某個系統的方程式其輸入（自變數）與輸出（應變數）不成正比，則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的，因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於，非線性系統可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果。

一般來說，非線性系統的行為可以用一組非線性聯立方程式來描述。非線性方程式裏含有由未知數構成的非線性函數；換句話說，一個非線性方程式並不能寫成其未知數的線性組合。非線性微分方程式，則是指方程式裏含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程式是線性或非線性時，只需考慮未知數（或未知函數）的部分，不需要檢查方程式中是否有已知的非線性項。例如在微分方程式中，若所有的未知函數、未知導函數皆為一次，即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數，仍稱它是線性微分方程式。

由於非線性方程式非常難解，因此常常需要以線性方程式來近似一個非線性系統（線性近似）。這種近似對某範圍內的輸入值（自變數）是很準確的，但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象，例如孤波、混沌^[1]和奇異點。這些奇特的現象，也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測，或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似，但兩者絕對不能混為一談；也就是說，一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。

舉例來說，許多天氣系統就是混沌的，微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言，這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。

某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究，但也有人不以為然：

「在科學領域裏使用『非線性科學』這個詞，就如同把動物學裏大部分的研究對象稱作『非大象動物』一樣可笑。」

——斯塔尼斯拉夫·烏拉姆^[2]

定義

在數學上，一個線性函數（映射）${\displaystyle f(x)}$ 擁有以下兩個性質：

• 疊加性：${\displaystyle \textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y)}$；
• 齊次：${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x)}$。

在 α 是有理數的情況下，一個可疊加函數必定是齊次函數（在討論線性與否時，齊次函數專指一次齊次函數）；若 ${\displaystyle f(x)}$ 是連續函數，則只要 α 是任意實數，就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數 α 時，疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說，在複數的世界裏存在一種反線性映射，它滿足疊加性，但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起，稱之為疊加原理：

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\,}$。

對於一個表示為

${\displaystyle f(x)=C\,}$

的方程式，如果 ${\displaystyle f(x)}$ 是一個線性映射，則稱為線性方程式，反之則稱為非線性方程式。另外，如果 ${\displaystyle C=0}$，則稱此方程式齊次（齊次在函數和方程式上的定義不同，齊次方程式指方程式內沒有和 x 無關的項 C，即任何項皆和 x 有關）。

這裏 ${\displaystyle f(x)=C}$ 的定義是很一般性的，${\displaystyle x}$ 可為任何數字、向量、函數等，而 ${\displaystyle f(x)}$ 可以指任意映射，例如有條件限制（給定初始值或邊界值）的微分或積分運算。如果 ${\displaystyle f(x)}$ 內含有對 ${\displaystyle x}$ 的微分運算，此方程式即是一個微分方程式。

非線性代數方程式

主條目：代數方程式

主條目：多項式

代數方程式又稱為多項式方程式。令某多項式等於零可得一個多項式方程式，例如：

${\displaystyle x^{2}+x-1=0\,}$。

利用勘根法可以找出某個代數方程式的解；但若是代數方程組則較為複雜，有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解（見希爾伯特零點定理）。即使如此，對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言，我們已經找到解的方法，並且也已充分了解這種系統的行為^[3]。代數方程組的研究是代數幾何裏重要的一環，而代數幾何正是現代數學裏的其中一個分枝。

非線性遞迴關係

若將一個序列前項和後項之間的關係定義成某個非線性映射，則稱為非線性遞迴關係，例如單峰映射和侯世達數列（英語：Hofstadter sequence）。由非線性遞迴關係構成的非線性離散模型，在實際應用中包括 NARMAX（Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs，外部輸入非線性自迴歸移動平均）模型、非線性系統辨識和分析程序等。^[4]這些方法可以用來分析時域、頻域和時空域（spatio-temporal domains）裏複雜的非線性行為。

非線性微分方程式

若描述一個系統的微分方程式是非線性的，則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程式的問題，系統彼此間的表現差異極大，而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程式的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程式，以及生物學的洛特卡－沃爾泰拉方程式。

解非線性問題最大的難處在於找出未知的解：一般來說，我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程式的未知解；而在線性的系統裏，卻可以利用一組線性獨立的解，透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題，其解（時間的函數）可以寫成許多不同頻率之正弦函數的線性組合，而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程式的特解，但由於此時疊加原理並不適用，故無法利用這些特解來建構出其他新的解。

常微分方程式

一階常微分方程式常常可以利用分離變數法來解，特別是自守方程式

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=f(u)\,}$。

例如

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}\,}$

這個方程式的通解為 ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$，特解為 u = 0（即通解在 C 趨近於無限大時的極限）。此方程式是非線性的，因為它可以被改寫為

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0\,}$，

而等號左邊並不是 u 的線性映射。若把此式的 u² 換成 u，則會變成線性方程式（指數衰減）。

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隱函數或非初等函數積分的形式。

分析常微分方程式常用的方法包括：

• 檢查是否有任何守恆量（特別是在處理哈密頓系統的時候）。
• 檢查有沒有類似守恆量的耗散量（見李亞普諾夫函數）。
• 利用泰勒展開式作線性近似。
• 利用變數變換法，改寫成較易分析的方程式。
• 分岔理論。
• 微擾法（也可應用在代數方程式上）。

偏微分方程式

主條目：非線性偏微分方程式

參見：非線性偏微分方程式列表

研究非線性偏微分方程式最常見也最基礎的方法就是變數變換，變換以後的方程式會較簡單，甚至有可能會變成線性方程式。有時候，變數變換後的方程式可能會變成一個或兩個以上的常微分方程式（如同用分離變數法解偏微分方程式），不管這些常微分方程式可不可解，都能幫助我們了解這個系統的行為。

另一個流體力學和熱力學裏常用的方法（但數學性較低），是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程式，使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程式簡化成一個線性偏微分方程式；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。

其他分析非線性偏微分方程式的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程式時常用的方法。

單擺

主條目：單擺

單擺（v 表示速度向量；a 表示加速度向量）

非線性問題的一個典型的例子，就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程式來描述（用拉格朗日力學可以證明^[5]）：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0\,}$。

這是一個非線性且無因次的方程式，${\displaystyle \theta }$ 是單擺和它靜止位置所夾的角度，如動畫所示。此方程式的一個解法是將 ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}}$ 視為積分因子，積分以後得

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}\,}$。

上述的解是隱解的形式，同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用，因為非初等函數積分（即使 ${\displaystyle C_{0}=0}$ 仍然是非初等函數）把解的各種特性隱藏了起來，使我們不易看出單擺系統的行為。

另一個解法是把這個非線性方程式作線性近似：利用泰勒展開式將非線性的 sine 函數線性化，並在某些特定的點附近討論解的情形。例如，若在 ${\displaystyle \theta =0}$ 的點附近作線性近似（又稱小角度近似），${\displaystyle \theta \approx 0}$ 時，${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$，故原方程式可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0\,}$。

近似後的方程式變成了簡諧振盪，因此當單擺運動到底部附近時，可以對應到一個簡諧振子。而若在 ${\displaystyle \theta =\pi }$（即當單擺運動到圓弧的最高點時）附近作線性近似，${\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta }$，故原方程式可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0\,}$。

這個方程式的解含有雙曲正弦函數，因此和小角度近似不同，這個近似是不穩定的，也就是說 ${\displaystyle |\theta |}$ 會無限制地增加（但此近似方程式的解也可能是有界的）。當我們把解對應回單擺系統後，就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡，也就是說，單擺在最高點時是不穩定的狀態。

另一個有趣的線性近似是在 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ 附近，此時 ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$，故原方程式可以改寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0\,}$，

這個近似後的方程式可以對應到自由落體。

若把以上線性近似的結果合在一起看，就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程式的方法，可以進一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的週期。

非線性表現（列舉）

• 經典混沌（和量子混沌相對）—— 指系統裏無法預測的行為。
• 多穩態 —— 指系統在兩個或多個互斥的狀態之間切換。
• 非週期振盪 —— 指一個函數在任何週期上都不會固定重複其函數值（也稱作混沌振盪）。
• 振幅死亡（英語：Amplitude death） —— 指系統內的某振盪因系統的自回饋或受其他系統影響而停止的現象。
• 孤波 —— 指行進中能自我增強而不消散的孤立波。

非線性方程式（列舉）

• 交流電潮流模型（英語：AC power flow model）
• 代數黎卡提方程式
• 球桿系統（英語：Ball and beam system）
• 最佳策略的貝爾曼方程式
• 波茲曼方程式
• 科爾布魯克方程式（英語：Colebrook equation）
• 廣義相對論
• 金茲堡－朗道方程式
• 流體力學的納維－斯托克斯方程式
• KdV 方程式
• 非線性光學
• 非線性薛定諤方程式（英語：Nonlinear Schrödinger equation）
• 未飽和層水流的理查氏方程式（英語：Richards equation）
• Sine-Gordon 方程式
• 朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式
• 石森方程式（英語：Ishimori equation）
• 范德波爾方程式
• 林納德方程式（英語：Liénard equation）
• 弗拉索夫方程式（英語：Vlasov equation）

參見：非線性偏微分方程式列表

分析非線性系統

• interalg （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） —— OpenOpt 和 FuncDesigner 架構下的求解器，可用來檢查一個非線性代數方程式系統是否有任何解，或甚至找出其所有解。
• 非線性模型及其模擬展示（連結至蒙納許大學的虛擬實驗室）
• FyDiK （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） —— 可模擬非線性動態系統的軟件。

參見

• 亞歷山大·李亞普諾夫
• 動態系統
• 初始條件
• 相互作用
• 線性系統
• 非線性偏微分方程式列表
• 模態耦合（英語：Mode coupling）
• 向量光孤子（英語：Vector soliton）
• 沃爾泰拉級數（英語：Volterra series）
• 平坦性

參考資料

1. Nonlinear Dynamics I: Chaos 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2008-02-12. at MIT's OpenCourseWare （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
2. Campbell, David K. Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 25 November 2004, 432 (7016): 455–456 [2016-11-13]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/432455a. （原始內容存檔於2011-10-11） （英語）.
3. Lazard, D. Thirty years of Polynomial System Solving, and now?. Journal of Symbolic Computation. 2009, 44 (3): 222–231. doi:10.1016/j.jsc.2008.03.004.
4. Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013
5. David Tong: Lectures on Classical Dynamics. [2016-11-13]. （原始內容存檔於2021-04-14）.

延伸閱讀

• Diederich Hinrichsen（英語：Diederich Hinrichsen） and Anthony J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer Verlag. 2005. ISBN 9783540441250.
• Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. Nonlinear Systems. Prentice Hall. 2001. ISBN 0-13-067389-7.
• Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley. 1998. ISBN 0-471-15496-2.
• Sontag, Eduardo. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5.

外部連結

• 命令與控制研究計劃（Command and Control Research Program, CCRP） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 新英格蘭複雜系統研究所 —— 複雜系統的概念（Concepts: Linear and Nonlinear） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 麻省理工開放式課程 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） —— 非線性動力學一：混沌（Nonlinear Dynamics I: Chaos） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 非線性模型 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） —— 物理系統的非線性模型資料庫（MATLAB）
• 洛斯阿拉莫斯國家實驗室的非線性研究中心（The Center for Nonlinear Studies） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）