過剩數

在數論中，過剩數又稱作豐數或盈數，一般指的是真因數之和大於自身的一類正整數，嚴格意義上指的是因數和函數大於兩倍自身的一類正整數。

以古氏積木展示12是一個過剩數：真因數之和超過自身

定義

一般定義

一般而言，過剩數是指使得函數 ${\displaystyle s(n)>n}$ 的正整數 ${\displaystyle n}$，其中 ${\displaystyle s(n)}$ 指的是 ${\displaystyle n}$ 的真因數之和；${\displaystyle s(n)-n}$ 稱作 ${\displaystyle n}$ 的盈度或豐度。

例如，12除本身外的所有正因數為1、 2、 3、 4和6，由於 ${\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16}$，且 ${\displaystyle 16>12}$，因此12為過剩數，且12的豐度為 ${\displaystyle {{16}-{12}}=4}$。

嚴格定義

更為嚴格地說，過剩數是指使得函數 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)>2n}$ 的正整數 ${\displaystyle n}$，其中 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ 指的是 ${\displaystyle n}$ 的所有正因數（包括 ${\displaystyle n}$）之和；${\displaystyle \sigma _{1}(n)-2n}$ 稱作 ${\displaystyle n}$ 的盈度或豐度。

在這種定義下，12的正因數有1、 2、 3、 4、 6和12，由於 ${\displaystyle {{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28}$，且 ${\displaystyle 28>12\times 2}$，因此12為過剩數，且12的豐度為 ${\displaystyle {{28}-{{12}\times {2}}}=4}$。

性質

• 最小的偶過剩數構成數列（OEIS數列A005101）：

12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……

• 最小的奇過剩數構成數列（OEIS數列A005231）：

945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……

• 不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS數列A047802）。
• 亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前${\displaystyle k}$個質數整除的最小過剩數的演算法^[1]：若 ${\displaystyle A(k)}$ 表示不能被前 ${\displaystyle k}$ 個質數整除的最小過剩數，則當 ${\displaystyle k}$ 足夠大時，對所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，有

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

• 除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數^[3]。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 ${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1}$。
• 過剩數的倍數都是過剩數^[3]。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}}$。
• 由於完全數的倍數都是過剩數，過剩數的倍數也都是過剩數^[3]，因此奇數和偶數的過剩數都有無限多個。

${\displaystyle a(n)/n}$在${\displaystyle n<10^{6}}$的分佈情況（對數尺度）。其中${\displaystyle a(n)}$為不超過${\displaystyle n}$的過剩數個數。

• 過剩數的集合具有非零的自然密度^[4]，1998年 Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於 0.2474 與 0.2480 之間^[5]。
• 若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數^[6][7]。
• 若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。
• 若一個過剩數的相對豐度 ${\displaystyle {\frac {s\left(n\right)}{n}}}$ 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。
• 每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和^[8]。
• 不是半完全數的過剩數稱為奇異數^[9][2]:144。
• 豐度為1的過剩數稱為准完全數，然而目前尚未找到准完全數^[10]。

相關概念

低於100的過剩數、本原過剩數、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成數、超級高合成數（英語：Superior highly composite number）、奇異數和完全數與虧數和合數關係的歐拉圖

• 與過剩數相關的概念是完全數（真因數和等於本身，即 ${\displaystyle s(n)=n}$ 或 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$）和虧數（真因數和小於本身，即 ${\displaystyle s(n)<n}$ 或 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)<2n}$）。最早將自然數分為過剩數、完美數和虧數的是 Nicomachus 於公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
• ${\displaystyle n}$ 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 ${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}}$^[11]；若一組相異的數 ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$（無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。
• 記 ${\displaystyle k}$ 變化時，滿足 ${\displaystyle \sigma _{1}\left(n\right)>kn}$ 的最小自然數 ${\displaystyle n}$ 構成數列 ${\displaystyle a_{k}}$（OEIS數列A134716），則 ${\displaystyle a_{2}=12}$，為第一個過剩數^[12]。${\displaystyle a_{k}}$ 是一個增長速度很快的數列。
• 豐度指數超過3的最小奇數為 ${\displaystyle 1018976683725=}$ ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29}$^[13]。

參見

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 虧數
• 梅森質數
• 半完全數
• 佩服數

參考文獻

1. D. Iannucci, On the smallest abundant number not divisible by the first k primes, Bulletin of the Belgian Mathematical Society（英語：Bulletin of the Belgian Mathematical Society）, 2005, 12 (1): 39–44 [2022-09-21], （原始內容存檔於2019-04-07）
2. Tattersall, James J. Elementary Number Theory in Nine Chapters 2nd. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.
3. Tattersall (2005)^[2], p.134
4. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.
5. Deléglise, Marc. Bounds for the density of abundant integers. Experimental Mathematics. 1998, 7 (2): 137–143 [2022-09-21]. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. （原始內容存檔於2020-10-13）.
6. Weisstein, Eric W. (編). Primitive Abundant Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
7. Erdős adopts a wider definition that requires a primitive abundant number to be not deficient, but not necessarily abundant (Erdős, Surányi and Guiduli. Topics in the Theory of Numbers p214. Springer 2003.). The Erdős definition allows perfect numbers to be primitive abundant numbers too.
8. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A048242 (Numbers that are not the sum of two abundant numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
9. Benkoski, Stan. E2308（in Problems and Solutions）. The American Mathematical Monthly. Aug.-September 1972, 79 (7): 774. doi:10.2307/2316276. 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
10. Hagis, Peter; Cohen, Graeme L. Some results concerning quasiperfect numbers. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1982, 33 (2): 275–286. MR 0668448. doi:10.1017/S1446788700018401.
11. Laatsch, Richard. Measuring the abundancy of integers. Mathematics Magazine（英語：Mathematics Magazine）. 1986, 59 (2): 84–92. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003. doi:10.2307/2690424.
12. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A134716 (a(n) = least number m such that sigma(m)/m > n). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
13. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A119240 (Least odd number k such that sigma(k)/k >= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.