過剩數

在數論中，過剩數又稱作豐數或盈數，一般指的是真因數之和大於自身的一類正整數，嚴格意義上指的是因數和函數大於兩倍自身的一類正整數。

一般而言，過剩數是指使得函數 $s(n)>n$ 的正整數 $n$ ，其中 $s(n)$ 指的是 $n$ 的真因數之和； $s(n)-n$ 稱作 $n$ 的盈度或豐度。

例如，12除本身外的所有正因數為1、 2、 3、 4和6，由於 ${{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16$ ，且 $16>12$ ，因此12為過剩數，且12的豐度為 ${{16}-{12}}=4$ 。

更為嚴格地說，過剩數是指使得函數 $\sigma _{1}(n)>2n$ 的正整數 $n$ ，其中 $\sigma _{1}(n)$ 指的是 $n$ 的所有正因數（包括 $n$ ）之和； $\sigma _{1}(n)-2n$ 稱作 $n$ 的盈度或豐度。

在這種定義下，12的正因數有1、 2、 3、 4、 6和12，由於 ${{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28$ ，且 $28>12\times 2$ ，因此12為過剩數，且12的豐度為 ${{28}-{{12}\times {2}}}=4$ 。

12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 ……

945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……

不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS數列A047802）。
亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前 $k$ 個質數整除的最小過剩數的演算法^[1]：若 $A(k)$ 表示不能被前 $k$ 個質數整除的最小過剩數，則當 $k$ 足夠大時，對所有的 $\epsilon >0$ ，有

(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }

除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數^[3]。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1$ 。
過剩數的倍數都是過剩數^[3]。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}$ 。
由於完全數的倍數都是過剩數，過剩數的倍數也都是過剩數^[3]，因此奇數和偶數的過剩數都有無限多個。

過剩數的集合具有非零的自然密度^[4]，1998年 Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於 0.2474 與 0.2480 之間^[5]。
若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數^[6]^[7]。
若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。
若一個過剩數的相對豐度 ${\frac {s\left(n\right)}{n}}$ 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。
每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和^[8]。
不是半完全數的過剩數稱為奇異數^[9]^[2]^:144。
豐度為1的過剩數稱為准完全數，然而目前尚未找到准完全數^[10]。

與過剩數相關的概念是完全數（真因數和等於本身，即 $s(n)=n$ 或 $\sigma _{1}(n)=2n$ ）和虧數（真因數和小於本身，即 $s(n)<n$ 或 $\sigma _{1}(n)<2n$ ）。最早將自然數分為過剩數、完美數和虧數的是 Nicomachus 於公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
$n$ 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 ${\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}$ ^[11]；若一組相異的數 $n_{1},n_{2},...$ （無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。
記 $k$ 變化時，滿足 $\sigma _{1}\left(n\right)>kn$ 的最小自然數 $n$ 構成數列 $a_{k}$ （OEIS數列A134716），則 $a_{2}=12$ ，為第一個過剩數^[12]。 $a_{k}$ 是一個增長速度很快的數列。
豐度指數超過3的最小奇數為 $1018976683725=$ $3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29$ ^[13]。