佩服數

在數論中，佩服數（英文：Admirable numbers），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數^{[註 1]}，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等於本身，就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」^[1]。

以古氏積木演示的佩服數12

所有大於3的質數的6倍都是佩服數^{[1][註 2]}，因此佩服數有無窮多個。

定義

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等於本身，就稱它為是佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$^[2]，同時，12也是最小的佩服數^[1]。

更為嚴格地說，佩服數是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$成立的正整數，其中σ指的是因數和函數，即${\displaystyle n}$的所有正因數（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因數和函數的結果為${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$，存在一個因數1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數^[3]。

例子

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶數。最小的奇佩服數是945^[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數^[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數^{[註 3]}比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服數的分佈並不像過剩數那樣，過剩數有着非零的自然密度^[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨着數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數^{[1][註 2]}，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數^{[註 4]}。

相關的數列

盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$，將其他不是本身的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS數列A153501）

例如18的因數有1、2、3、6、9、18有一個因數3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-3=18}$。

有這種性質的數最小的奇數是173369889^[7]，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS數列A181595）^[8]，但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundant-perfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如18雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義^[9]，因此18不是佩服數^{[註 5]}。

相容數

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的數叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字N和M，分別各存在一個因數d_N和d_M，N將其他不是本身、不是d_N的因數相加後，再減掉d_N，得到M、而M將其他不是本身、不是d_M的因數相加後，再減掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS數列A109797）和（OEIS數列A109798）

虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[註 6]}

例如10的因數有1、2、5、10有一個因數2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$

特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficient-perfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己^[10][11]，在這個定義中1也符合，因為1不含自己的因數和是0，1減去零是1，當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS數列A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數^{[註 7]}，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS數列A060326）

楚姆克勒數

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如48的因數可以分為兩組：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一個楚姆克勒數^[13]。

所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS數列A083207）

參見

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 豐數
• 虧數
• 梅森質數
• 半完全數

註釋

1. 為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。
2. 假設p是一個大於3的質數，則6p可因數分解為${\displaystyle 2\times 3\times p}$，因此6p共有8個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數6，使得${\displaystyle (1+2+3+p+2p+3p)-6=6p}$本身，因此對所有大於3的質數${\displaystyle p}$，${\displaystyle 6p}$都是佩服數
3. 指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
4. 假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數，則${\displaystyle p\cdot q}$的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積，已知q的因數和為2q，因此${\displaystyle p\cdot q}$的所有正因數和為${\displaystyle 2q+2p\cdot q}$，不含${\displaystyle p\cdot q}$本身的因數和為${\displaystyle (2q+2p\cdot q)-p\cdot q}$為${\displaystyle 2q+p\cdot q}$，因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和${\displaystyle (q+p\cdot q)}$減去q等於${\displaystyle p\cdot q}$本身，因此對所有大於3的質數p，${\displaystyle p\cdot q}$都是佩服數
5. 18的因數有1，2，3，6，9，18，假設d'為1，得${\displaystyle (2+3+6+9)-1=19}$，非18；假設d'為2，得${\displaystyle (1+3+6+9)-2=17}$，非18；假設d'為3，得${\displaystyle \left(1+2+6+9\right)-3=15}$，非18；假設d'為6，得${\displaystyle (1+2+3+9)-6=9}$，非18；假設d'為9，得${\displaystyle (1+2+3+6)-9=3}$，非18；假設d'為18，得${\displaystyle (1+2+3+6+9)-18=3}$，非18。因此18不存在因數d'，將其他不是本身、不是d'的因數相加後，再減掉d'，能等於本身，因此18不是佩服數^[9]
6. 該數列未被整數數列線上大全收錄。
7. 二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪，例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64，為小於等於64的所有二的乘冪，因此根據二的乘冪級數的性質^[12]，將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一，而1為所有自然數的因數，因此二的乘冪必定會是虧完全數。

參考文獻

1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5

1. admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始內容存檔於2017-06-03）.
2. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. （原始內容存檔於2019-08-12）.
3. Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. （原始內容存檔於2022-05-11）. All admirable numbers are abundant
4. 佩服數列表. 整數數列線上大全. [2011-07-13]. （原始內容存檔於2021-02-26）.
5. Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
6. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
7. Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整數數列線上大全. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2021-11-21）.
8. V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-11-09）.
9. T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. （原始內容存檔於2010年11月30日）.
10. M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
11. M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
12. The sum of the powers of two from 2⁰ up to 2^{(n - 1)} is (2^ⁿ) - 1. c2.com. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2016-09-18）.
13. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部連結

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）