達布定理

此條目的主題是數學分析中的達布定理。關於微分幾何中的達布定理，請見「達布定理 (微分幾何)」。

在實分析中，達布定理（英語：Darboux's theorem）得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有實函數的導數都具有介值性質：實導函數對任意區間的值域仍是區間。即，若${\displaystyle f}$為可導函數，則對任意區間${\displaystyle I}$，${\displaystyle f'(I)}$ 仍為區間。

當函數 ${\displaystyle f}$ 是一階連續可導函數時，由介值定理，達布定理顯然成立。當導函數 ${\displaystyle f'}$ 不連續時，達布定理說明 ${\displaystyle f'}$ 仍具有介值性質。

內容

設${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$為閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的可導實函數，那麼對介於${\displaystyle f'(a)}$和${\displaystyle f'(b)}$之間的任意${\displaystyle y}$，存在${\displaystyle x\in [a,b]}$使得${\displaystyle f'(x)=y}$。

證明

不失一般性，可假設${\displaystyle f\,'_{+}(a)>y>f\,'_{-}(b)}$。又設${\displaystyle g(x):=f(x)-tx}$，則 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$。只需找到${\displaystyle g'}$在${\displaystyle [a,b]}$上的一個零點即可。

由於${\displaystyle g}$是${\displaystyle [a,b]}$上的連續函數，由極值定理，${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上達到極大值。由於${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$，極大值不在${\displaystyle a}$處取到。同理，由於${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$，極大值也不在b處取到。設${\displaystyle x}$為取到極大值的點，這時，${\displaystyle g\,'(x)=0}$。於是定理得證。

歷史

19世紀時，大部分數學家認為介值定理已經可以刻畫出連續函數。但在1875年，讓·加斯東·達布證明這個想法是錯誤的，因為連續函數的導函數仍然具有介值性質，但不一定是連續函數。一個很常用的反例是拓撲學家正弦曲線函數：

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0{\text{时 }},\\0&x=0{\text{时 }}.\end{cases}}}$

其導數在${\displaystyle x=0}$處並不連續。

參考資料

• 萬麗 , 李少琪 , 閻慶旭，《微分達布(Darboux)定理的幾種新證法及其推廣》，《數學的實踐與認識》2003年11期
• 潘繼斌，《達布(Darboux)定理及其應用》，《湖北師範學院學報（自然科學版）》2000年01期

外部連結

• 本條目含有來自PlanetMath《Darboux’s theorem (analysis)》的內容，版權遵守共享創意協議：署名-相同方式共享協議。
• 本條目含有來自PlanetMath《Proof of Darboux’s theorem》的內容，版權遵守共享創意協議：署名-相同方式共享協議。