拓撲學家正弦曲線

拓撲學中，拓撲學家正弦曲線或華沙正弦曲線是一個拓撲空間，具有一些有趣的特性，使其成為教科書中的一個重要例子。

隨着x從右邊接近0，1/x的變化率就增大。這就是正弦波的頻率隨着圖形向左移動而增加的原因。

它可以定義為函數sin(1/x)在半開區間(0, 1]上連通原點在歐氏平面拓撲下的函數圖形：

${\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}$

性質

拓撲學家正弦曲線T是連通的，但不是局部連通也不是路徑連通。這是因為它包含原點，但卻無法將函數與原點連接為路徑。

空間T是局部緊空間的連續像（即設V為空間{−1} ∪ (0, 1]，並使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))（x > 0）定義的映射${\displaystyle f:\ V\to T}$），而T本身不是局部緊的。

T的拓撲維數為1。

變體

拓撲學家正弦曲線有2種有趣的變體，具有其它有趣的性質。

閉拓撲學家正弦曲線可通過拓撲學家正弦曲線添加極限點集${\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}$得到。有文獻將拓撲學家正弦曲線本身定義為這個版本，因為他們更喜歡用「閉拓撲學家正弦曲線」指另一條曲線。^[1]據海涅-博雷爾定理，這是閉有界緊空間，但與拓撲學家正弦曲線有相似的性質：它也是連通的，但既不是局部連通，也不是路徑連通。

推廣拓撲學家正弦曲線的定義是：將閉拓撲學家正弦曲線加入集合${\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}$。它是弧連通的，但不是局部連通的。

另見

• 形狀理論#華沙圈

參考文獻

1. Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
• 埃里克·韋斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.