達布定理 是數學領域微分幾何中關於微分形式的一個定理，部分地推廣了弗羅貝尼烏斯定理。它是包括辛幾何在內多個領域的基石。這個定理以讓·加斯東·達布[1] 命名，他在解 Pfaff 問題[2] 時建立了這個定理。
這個定理的推論之一是任何兩個同維數的辛流形是局部辛同胚的。這就是說，任何 2n-維辛流形能局部的看作帶標準辛形式的線性辛空間 Cn。應用於切觸幾何也有類似的結論。
定理的陳述和第一個推論
定理準確的陳述如下。[3] 設 θ 是一個 n 維流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一點都有
- θ ∧ (dθ)p = 0 ，
那麼有一個局部的坐標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp ，在這個坐標系下
- θ = x1 dy1 + ... + xp : θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1。
dyp。 另一個方面，如果任一點有
- θ ∧ (dθ)p ≠ 0 任何處,
那麼有一個局部坐標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp 使得
- θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1.
特別的，設 ω 是 n=2m 維流形 M 上的一個辛 2-形式。M 上任一點 p 的局部，由 龐加萊引理，總有一個 1-形式 θ 滿足 dθ=ω 。進一步 θ 滿足達布定理的第一個假設，從而局部存在一個 p 附近的坐標卡 U 使得
- θ = x1 dy1 + ... + xm dym。
取外導數便有
- ω = dθ = dx1 ∧ dy1 + ... + dxm ∧ dym。
坐標卡 U 稱為 p 附近的達布坐標卡。[4] 流形 M 能被這樣的卡覆蓋。
換一種方式敘述，將 R2m 與 Cm 等同起來，令 zj = xj + i yj。如果 φ : U → Cn是一個達布坐標卡，那麼 ω 是標準辛形式 ω0 在 Cn 上的拉回:
- 。
和黎曼幾何的比較
這個結論意味着辛幾何沒有局部不變性：在任何一點附近，總能取一個達布基。這和黎曼幾何具有顯著的不同，高斯絕妙定理指出曲率是黎曼幾何的一個局部不變量。曲率阻礙了將度量局部寫成一個平方和。
必須要強調的是，達布定理是說 ω 能在 p 附近的「整個鄰域」寫成一個標準形式。黎曼幾何中，度量總能在給定一「點」寫成一個標準形式，但一般不能在那個點的鄰域，除非局部為歐氏空間。
又見
- Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，這個定理的一個推廣。
註釋
參考文獻
外部連結
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