在數學 的數值分析 領域中，貝茲曲線 （英語：Bézier curve ）是電腦圖學 中相當重要的參數曲線 。更高維度 的廣泛化貝茲曲線就稱作貝茲曲面 貝茲三角
三次方貝茲曲線 貝茲曲線於1962年，由法國 工程師皮埃爾·貝茲 （Pierre Bézier ）所廣泛發表，他運用貝茲曲線來為汽車 的主體進行設計。貝茲曲線最初由保爾·德·卡斯特里奧 德卡斯特里奧演算法 開發，以穩定數值 的方法求出貝茲曲線。
給定點P 0 、P 1 ，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線 。這條線由下式給出：
B
(
t
)
=
P
0
+
(
P
1
−
P
0
)
t
=
(
1
−
t
)
P
0
+
t
P
1
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})t=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}
且其等同於線性插值 。
二次方貝茲曲線的路徑由給定點P 0 、P 1 、P 2 的函數B （t ）追蹤：
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
2
P
0
+
2
t
(
1
−
t
)
P
1
+
t
2
P
2
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}
TrueType 字型就運用了以貝茲樣條 組成的二次貝茲曲線。
P 0 、P 1 、P 2 、P 3 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於P 0 走向P 1 ，並從P 2 的方向來到P 3 。一般不會經過P 1 或P 2 ；這兩個點只是在那裏提供方向資訊。P 0 和P 1 之間的間距，決定了曲線在轉而趨進P 2 之前，走向P 1 方向的「長度有多長」。
曲線的參數 形式為：
B
(
t
)
=
P
0
(
1
−
t
)
3
+
3
P
1
t
(
1
−
t
)
2
+
3
P
2
t
2
(
1
−
t
)
+
P
3
t
3
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{3}+3\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{2}+3\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)+\mathbf {P} _{3}t^{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}
現代的成象系統，如PostScript 、Asymptote 和Metafont ，運用了以貝茲樣條 組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。
一些關於參數曲線的術語，有
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
P
i
b
i
,
n
(
t
)
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}\mathbf {b} _{i,n}(t),\quad t\in [0,1]}
即多項式
b
i
,
n
(
t
)
=
(
n
i
)
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
,
i
=
0
,
…
n
{\displaystyle \mathbf {b} _{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n}
又稱作n 階的伯恩斯坦基底多項式 ，定義00 = 1。
點P i 控制點 。多邊形 以帶有線 的貝茲點連接而成，起始於P 0 並以P n 貝茲多邊形 （或控制多邊形 ）。貝茲多邊形的凸包 （convex hull）包含有貝茲曲線。
開始於P 0 並結束於P n 的曲線，即所謂的端點插值法 屬性。
曲線是直線的充分必要條件是所有的控制點都位在曲線上。同樣的，貝茲曲線是直線的充分必要條件是控制點共線 。
曲線的起始點（結束點）相切 於貝茲多邊形的第一節（最後一節）。
一條曲線可在任意點切割成兩條或任意多條子曲線，每一條子曲線仍是貝茲曲線。
一些看似簡單的曲線（如圓 ）無法以貝茲曲線精確的描述，或分段成貝茲曲線（雖然當每個內部控制點對單位圓上的外部控制點水平或垂直的的距離為
4
(
2
−
1
)
/
3
{\displaystyle 4\left({\sqrt {2}}-1\right)/3}
位於固定偏移量的曲線（來自給定的貝茲曲線），又稱作偏移曲線 （假平行於原來的曲線，如兩條鐵軌之間的偏移）無法以貝茲曲線精確的形成（某些平凡實例除外）。無論如何，現存的啟發法 通常可為實際用途中給出近似值。
線性貝茲曲線演示動畫，t 在[0,1]區間
線性貝茲曲線函數中的t 會經過由P 0 至P 1 的B （t ）所描述的曲線。例如當t=0.25 時，B （t ）即一條由點P 0 至P 1 路徑的四分之一處。就像由0至1的連續t ，B （t ）描述一條由P 0 至P 1 的直線。
為建構二次貝茲曲線，可以中介點Q 0 和Q 1 作為由0至1的t ：
由P 0 至P 1 的連續點Q 0 ，描述一條線性貝茲曲線。
由P 1 至P 2 的連續點Q 1 ，描述一條線性貝茲曲線。
由Q 0 至Q 1 的連續點B （t ），描述一條二次貝茲曲線。
二次貝茲曲線的結構
二次貝茲曲線演示動畫，t 在[0,1]區間
為建構高階曲線，便需要相應更多的中介點。對於三次曲線，可由線性貝茲曲線描述的中介點Q 0 、Q 1 、Q 2 ，和由二次曲線描述的點R 0 、R 1 所建構：
三次貝茲曲線的結構
三次貝茲曲線演示動畫，t 在[0,1]區間
對於四次曲線，可由線性貝茲曲線描述的中介點Q 0 、Q 1 、Q 2 、Q 3 ，由二次貝茲曲線描述的點R 0 、R 1 、R 2 ，和由三次貝茲曲線描述的點S 0 、S 1 所建構：
四次貝茲曲線的結構
四次貝茲曲線演示動畫，t 在[0,1]區間
還可參閱五階貝茲曲線的構成：
五次貝茲曲線演示動畫，t 在[0,1]區間
這些運動軌跡使用德卡斯特里奧演算法 計算出貝茲曲線。[ 1]
n 次貝茲曲線可以轉換為一個形狀完全相同的n+1 次貝茲曲線。
這在軟件只支援特定階次的貝茲曲線時很有用。
例如，Cairo 只支援三次貝茲曲線，你就可以用升階的方法在Cairo畫出二次貝茲曲線。
我們利用
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
B
(
t
)
+
t
B
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} (t)+t\mathbf {B} (t)}
b
i
,
n
(
t
)
P
i
{\displaystyle \mathbf {b} _{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}}
t ) 或 t ，讓每一項都往上升一階。以下是將二階升為三階的範例
(
1
−
t
)
2
P
0
+
2
(
1
−
t
)
t
P
1
+
t
2
P
2
=
(
1
−
t
)
3
P
0
+
(
1
−
t
)
2
t
P
0
+
2
(
1
−
t
)
2
t
P
1
+
2
(
1
−
t
)
t
2
P
1
+
(
1
−
t
)
t
2
P
2
+
t
3
P
2
=
(
1
−
t
)
3
P
0
+
3
(
1
−
t
)
2
t
P
0
+
2
P
1
3
+
3
(
1
−
t
)
t
2
2
P
1
+
P
2
3
+
t
3
P
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad (1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2(1-t)t\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}\\&=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+(1-t)^{2}t\mathbf {P} _{0}+2(1-t)^{2}t\mathbf {P} _{1}\\&{}\qquad +2(1-t)t^{2}\mathbf {P} _{1}+(1-t)t^{2}\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{2}\\&=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3(1-t)^{2}t{\frac {\mathbf {P} _{0}+2\mathbf {P} _{1}}{3}}+3(1-t)t^{2}{\frac {2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}}{3}}+t^{3}\mathbf {P} _{2}\end{aligned}}}
對任何的n 值，我們都可以使用以下等式
(
n
+
1
i
)
(
1
−
t
)
b
i
,
n
=
(
n
i
)
b
i
,
n
+
1
,
(
1
−
t
)
b
i
,
n
=
n
+
1
−
i
n
+
1
b
i
,
n
+
1
{\displaystyle {n+1 \choose i}(1-t)\mathbf {b} _{i,n}={n \choose i}\mathbf {b} _{i,n+1},\quad (1-t)\mathbf {b} _{i,n}={\frac {n+1-i}{n+1}}\mathbf {b} _{i,n+1}}
(
n
+
1
i
+
1
)
t
b
i
,
n
=
(
n
i
)
b
i
+
1
,
n
+
1
,
t
b
i
,
n
=
i
+
1
n
+
1
b
i
+
1
,
n
+
1
{\displaystyle {n+1 \choose i+1}t\mathbf {b} _{i,n}={n \choose i}\mathbf {b} _{i+1,n+1},\quad t\mathbf {b} _{i,n}={\frac {i+1}{n+1}}\mathbf {b} _{i+1,n+1}}
B
(
t
)
=
(
1
−
t
)
∑
i
=
0
n
b
i
,
n
(
t
)
P
i
+
t
∑
i
=
0
n
b
i
,
n
(
t
)
P
i
=
∑
i
=
0
n
n
+
1
−
i
n
+
1
b
i
,
n
+
1
(
t
)
P
i
+
∑
i
=
0
n
i
+
1
n
+
1
b
i
+
1
,
n
+
1
(
t
)
P
i
=
∑
i
=
0
n
+
1
(
i
n
+
1
P
i
−
1
+
n
+
1
−
i
n
+
1
P
i
)
b
i
,
n
+
1
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
+
1
b
i
,
n
+
1
(
t
)
P
′
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (t)&=(1-t)\sum _{i=0}^{n}\mathbf {b} _{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}+t\sum _{i=0}^{n}\mathbf {b} _{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n+1-i}{n+1}}\mathbf {b} _{i,n+1}(t)\mathbf {P} _{i}+\sum _{i=0}^{n}{\frac {i+1}{n+1}}\mathbf {b} _{i+1,n+1}(t)\mathbf {P} _{i}\\&=\sum _{i=0}^{n+1}\left({\frac {i}{n+1}}\mathbf {P} _{i-1}+{\frac {n+1-i}{n+1}}\mathbf {P} _{i}\right)\mathbf {b} _{i,n+1}(t)=\sum _{i=0}^{n+1}\mathbf {b} _{i,n+1}(t)\mathbf {P'} _{i}\end{aligned}}}
式中
P
−
1
{\displaystyle \mathbf {P} _{-1}}
P
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {P} _{n+1}}
因此，新的控制點為[ 2]
P
′
i
=
i
n
+
1
P
i
−
1
+
n
+
1
−
i
n
+
1
P
i
,
i
=
0
,
…
,
n
+
1.
{\displaystyle \mathbf {P'} _{i}={\frac {i}{n+1}}\mathbf {P} _{i-1}+{\frac {n+1-i}{n+1}}\mathbf {P} _{i},\quad i=0,\ldots ,n+1.}
由於需要點陣化更精細的解像度時，重新插值（補點）的計算量較小，貝茲曲線被廣泛地在電腦圖形中用來為平滑曲線建立模型。貝茲曲線是向量圖形檔案和相應軟件（如PostScript、PDF等）能夠處理的唯一曲線，用於光滑地近似其他曲線。
二次和三次貝茲曲線最為常用。
下列程式碼為一簡單的實際運用範例，展示如何使用C語言 標出三次方貝茲曲線。注意，此處僅簡單的計算多項式系數，並讀盡一系列由0至1的t值；實踐中一般不會這麼做，遞歸求解通常會更快速——以更多的記憶體為代價，花費較少的處理器時間。不過直接的方法較易於理解並產生相同結果。以下程式碼已使運算更為清晰。實踐中的最佳化會先計算系數一次，並在實際計算曲線點的迴圈中反複使用。此處每次都會重新計算，損失了效率，但程式碼更清楚易讀。
曲線的計算可在曲線陣列上將相連點畫上直線——點越多，曲線越平滑。
在部分架構中，下以程式碼也可由動態規劃 進行最佳化。舉例來說，dt 是一個常數，cx * t 則等同於每次反覆就修改一次常數。經反覆應用這種最佳化後，迴圈可被重寫為沒有任何乘法（雖然這個過程不是穩定數值 的）。
/*
產生三次方貝茲曲線的程式碼
*/
typedef struct
{
float x ;
float y ;
}
Point2D ;
/*
cp在此是四個元素的陣列:
cp[0]為起始點，或上圖中的P0
cp[1]為第一個控制點，或上圖中的P1
cp[2]為第二個控制點，或上圖中的P2
cp[3]為結束點，或上圖中的P3
t為參數值，0 <= t <= 1
*/
Point2D PointOnCubicBezier ( Point2D * cp , float t )
{
float ax , bx , cx ;
float ay , by , cy ;
float tSquared , tCubed ;
Point2D result ;
/*計算多項式係數*/
cx = 3.0 * ( cp [ 1 ]. x - cp [ 0 ]. x );
bx = 3.0 * ( cp [ 2 ]. x - cp [ 1 ]. x ) - cx ;
ax = cp [ 3 ]. x - cp [ 0 ]. x - cx - bx ;
cy = 3.0 * ( cp [ 1 ]. y - cp [ 0 ]. y );
by = 3.0 * ( cp [ 2 ]. y - cp [ 1 ]. y ) - cy ;
ay = cp [ 3 ]. y - cp [ 0 ]. y - cy - by ;
/*計算位於參數值t的曲線點*/
tSquared = t * t ;
tCubed = tSquared * t ;
result . x = ( ax * tCubed ) + ( bx * tSquared ) + ( cx * t ) + cp [ 0 ]. x ;
result . y = ( ay * tCubed ) + ( by * tSquared ) + ( cy * t ) + cp [ 0 ]. y ;
return result ;
}
/*
ComputeBezier以控制點cp所產生的曲線點，填入Point2D結構的陣列。
呼叫者必須分配足夠的記憶體以供輸出結果，其為<sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/
void ComputeBezier ( Point2D * cp , int numberOfPoints , Point2D * curve )
{
float dt ;
int i ;
dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );
for ( i = 0 ; i < numberOfPoints ; i ++ )
curve [ i ] = PointOnCubicBezier ( cp , i * dt );
}
另一種貝茲曲線的應用是在動畫中，描述物件的運動路徑等等。此處，曲線的x、y位置不用來標示曲線，但用來表示圖形位置。當用在這種形式時，連續點之間的距離會變的更為重要，且大多不是平均比例。點將會串的更緊密，控制點更接近每一個點，而更為稀疏的控制點會散的更開。如果需要線性運動速度，進一步處理時就需要循所需路徑將點平均分散。
有時我們可能想要把貝茲曲線表示為多項式 ，而非比較不直接的伯恩斯坦多項式 。使用二項式定理 和貝茲曲線的定義，重新整理後可以得到：
B
(
t
)
=
∑
j
=
0
n
t
j
C
j
{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{j=0}^{n}{t^{j}\mathbf {C} _{j}}}
此處
C
j
=
n
!
(
n
−
j
)
!
∑
i
=
0
j
(
−
1
)
i
+
j
P
i
i
!
(
j
−
i
)
!
=
∏
m
=
0
j
−
1
(
n
−
m
)
∑
i
=
0
j
(
−
1
)
i
+
j
P
i
i
!
(
j
−
i
)
!
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{j}={\frac {n!}{(n-j)!}}\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}=\prod _{m=0}^{j-1}(n-m)\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}.}
計算曲線上的點時需要多次計算
B
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (t)}
C
j
{\displaystyle \mathbf {C} _{j}}
數值穩定性 （需使用德卡斯特里奧演算法 來處理）。注意其空積 為1。
有理貝茲曲線的範例 有理貝茲增加可調節的權重，以提供更近似於隨意的形狀。分子是加權的伯恩斯坦形式貝茲曲線，而分母是加權的伯恩斯坦多項式 的總和。
給定n + 1控制點P i
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
b
i
,
n
(
t
)
P
i
w
i
∑
i
=
0
n
b
i
,
n
(
t
)
w
i
{\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)w_{i}}}}
或簡單的
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
P
i
w
i
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
w
i
{\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}w_{i}}}}
德卡斯特里奧演算法 樣條 貝茲樣條 貝茲曲面 貝茲三角 NURBS string art 埃爾米特曲線 
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})t=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f09ec6ec6e08747a87600d769f1e08c1f05f00)
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28ed03475106564d4a959647acb2b7fa34935ef)
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{3}+3\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{2}+3\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)+\mathbf {P} _{3}t^{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671f651757c2e7efb48da5801e835d3cafe4eeba)
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mathbf {P} _{i}(1-t)^{n-i}t^{i}={n \choose 0}\mathbf {P} _{0}(1-t)^{n}t^{0}+{n \choose 1}\mathbf {P} _{1}(1-t)^{n-1}t^{1}+\cdots +{n \choose n-1}\mathbf {P} _{n-1}(1-t)^{1}t^{n-1}+{n \choose n}\mathbf {P} _{n}(1-t)^{0}t^{n}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c927f56552e184c4debebc83a08dc79896052a14)
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{5}+5\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{4}+10\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)^{3}+10\mathbf {P} _{3}t^{3}(1-t)^{2}+5\mathbf {P} _{4}t^{4}(1-t)+\mathbf {P} _{5}t^{5}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce67646669e7dd2708aa76e9c0fd7a43f26876c8)
![{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}\mathbf {P} _{i}\mathbf {b} _{i,n}(t),\quad t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6809080971ffd74cb48dbdc5b07c42575c7938a1)
