類數公式

在數論中，類數公式涉及了許多重要的不變量，是數域到其特殊的戴德金zeta函數賦值。

類數公式的一般性陳述

數域 K 有擴張[K:Q]=r=r₁+2r₂, ${\displaystyle r_{1}}$ 為 K的實素點個數,${\displaystyle 2r_{2}}$ 為 K的復素點個數. K戴德金zeta函數記為:${\displaystyle \zeta _{K}(s)\,}$ 則有下列不變量：

• ${\displaystyle h_{K}}$ 為K的理想類群的階
• ${\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}}$ K的素點
• ${\displaystyle w_{K}}$ 為K的單位根個數
• ${\displaystyle D_{K}}$ 為K在K/Q擴張的判別式
  • 定理1（類數公式）數域 K 的戴德金zeta函數${\displaystyle \zeta _{K}(s)\,}$絕對收斂，並對複平面${\displaystyle \Re (s)>1}$，且s =1時，只有一個極點的亞純函數，其留數為：

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

這是最普遍的「類數公式」。在特殊情況下，例如當K是分圓域的擴張，也有簡化的類數公式。

狄利克雷類數公式

• 以下參考達文波特。[1]狄利克雷在1839年證明了第一類數公式，但它是關於二次型的類數而不是理想類的證明。設d是一個基本單位的判別式，寫判別ð二次型的等價類數h為（D）。${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$是Kronecker符號，則χ是Dirichlet特徵。記χ的LDirichlet L序列為L(s, χ)，

對於d>0，讓t> 0，u>0 則滿足u是最小的解Pell方程${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$，如記:${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$（ε也是實2次域的基本單位或基本單位的平方）， 對於d<0，記w為判別式d的二次型的自同構個數，則：

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

然後狄利克雷證明出：

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\frac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\frac {\sqrt {d}}{\ln \epsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

這是上述定理1一個特殊情況：只對一個二次域K戴德金zeta函數的結論：${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$, 留數為${\displaystyle L(1,\chi )}$.狄利克雷也證明了，L序列可以寫成有限形式，從而類數也可以寫成有限形式。類數有限的形式為：

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\frac {\pi }{|d|^{3/2}}}\sum _{m=1}^{|d|}m\left({\frac {d}{m}}\right),&d<0;\\-{\frac {1}{d^{1/2}}}\sum _{m=1}^{d}\left({\frac {d}{m}}\right)\ln \sin {\frac {m\pi }{d}},&d>0.\end{cases}}}$

參考文獻

• W. Narkiewicz. Elementary and analytic theory of algebraic numbers 2nd ed. Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. 1990: 324–355. ISBN 3-540-51250-0. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)