數體

數體是近世代數學中常見的概念，指對加減乘除四則運算封閉的代數系統。通常定義的數體是指複數體${\displaystyle \mathbb {C} }$的子體。「數體」一詞有時也被用作代數數體的簡稱，但兩者的定義有細微的差別。

定義

設${\displaystyle {\mathcal {P}}}$是複數體${\displaystyle \mathbb {C} }$的子集。若${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中包含0與1，並且${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中任兩個數的和、差、乘積以及商（約定除數不為0）都仍在${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中，就稱${\displaystyle {\mathcal {P}}}$為一個數體^[1]:101。用體論的話語來說，複數體的子體是為數體^[2]:5。

任何數體都包括有理數體${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[1]:103[2]:5，但並不一定是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張，因此數體不一定是代數數體。例如實數體${\displaystyle \mathbb {R} }$和複數體${\displaystyle \mathbb {C} }$都不是代數數體。反之，每個代數數體都同構於某個數體。

例子

除了常見的實數體${\displaystyle \mathbb {R} }$和複數體${\displaystyle \mathbb {C} }$以外^[2]:5，通過在有理數體中添加特定的無理數進行擴張得到的擴張體也是數體。例如所有形同：

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q} }$

的數的集合，就是一個數體。可以驗證，任何兩個這樣的數，它們的和、差、乘積以及商（約定除數不為0）都能寫成${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$的形式，故仍然在集合之中^[1]:102。這個集合記作${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$，是有理數體${\displaystyle \mathbb {Q} }$的二次擴張體。

可構造數

可構造數也叫規矩數，指的是從給定的單位長度開始，能夠通過有限次標準的尺規作圖步驟做出的長度數值。所有可構造數的集合記為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，是一個數體^[3]:160-161。因為給定了兩個已經做出的線段後，可以通過符合尺規作圖規定的手段，在有限步內作出長度為兩者長度之和、差、乘積以及商的線段。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的擴張體，次數為無限大，是實數體${\displaystyle \mathbb {R} }$的子體^[3]:161。

代數數

代數數指能夠成為某個有理系數多項式的根的數。所有代數數的集合記作${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，是一個數體。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$也常被稱為代數數體，但與定義為「${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張」的代數數體是不同的概念。不過，每個${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張生成的體都可看作是^{[N 1]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$中加入某個代數數擴成的，所以都是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的子體。可構造數構成的數體${\displaystyle {\mathcal {C}}}$也是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的子體。由於虛數單位i也是代數數，所以${\displaystyle {\mathcal {A}}}$不是${\displaystyle \mathbb {R} }$的子體。另一方面，自然對數的底e以及圓周率π都不是代數數，所以${\displaystyle \mathbb {R} }$也不是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的子體^{[N 2]}。

註釋

1. 在同構意義上。
2. 事實上${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的元素個數是可數的，所以元素個數不可數的${\displaystyle \mathbb {R} }$不可能是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$的子體。

參考來源

1. 王萼芳. 高等代数教程. 清華大學出版社. 1997. ISBN 9787302024521.
2. 張賢科, 許甫華. 高等代数学. 清華大學出版社. 2004. ISBN 9787302082279.
3. 胡冠章, 王殿軍. 应用近世代数. 清華大學出版社. 2006. ISBN 9787302125662.