皮索特-維賈亞拉加文數

皮索特-維賈亞拉加文數（Pisot–Vijayaraghavan number，簡稱皮索數或PV數）是指一大於1的實數代數整數，且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞爾·圖厄發現，後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數，但一直到1938年查理·皮索特（英語：Charles Pisot）的論文發表後，皮索數才廣為人所知道。數學家維賈亞拉加文（英語：Tirukkannapuram Vijayaraghavan）及拉斐爾·塞勒姆（英語：Raphael Salem）在1940年代有相關的研究，塞勒姆數（英語：Salem number）的概念就類似皮索數。

皮索數一個廣為人知的特性就是其高次方以指數方式趨近整數。皮索特證明了以下的定理：若α > 1為一實數使以下數列

${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$

為平方可求和（square-summable）或ℓ²（其中||x||表示一實數x和最接近整數之間的距離），則α為皮索數（也是一代數整數）。依照皮索數的這一個特性，塞勒姆證明所有皮索數形成的集合S為一閉集合。其最小元素為一個包括三次方根的無理數，稱為塑膠數。對於皮索數集合S的極限點有較多的了解，其中最小的元素就是黃金比例。

定義及性質

一個代數度n的代數整數是指一個n次不可約（英語：irreducible polynomial）整系數首一多項式P(x)的根α，P(x)即為α的最小多項式，其他的根則為α的共軛數。若 α > 1，且P(x)的其他根皆為絕對值小於1的實數或複數，都在複數平面中|x| = 1的單位圓盤中，則α就稱為皮索特-維賈亞拉加文數、皮索數或PV數。例如黃金比例φ ≈ 1.618為一個大於一的實代數整數，其共軛數−φ⁻¹ ≈ −0.618小於1，因此φ為一皮索數，其最小多項式為x² − x − 1。

參考資料

• M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber. Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. 1992. ISBN 3764326484. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. 2002. ISBN 0-387-95444-9. Chap. 3.
• D.W. Boyd. Pisot and Salem numbers in intervals of the real line. Math. Comp. 1978, 32: 1244–1260. doi:10.2307/2006349.
• J.W.S. Cassels. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 1957: 133–144.
• G. Hardy. A problem of diophantine approximation. Journal Ind. Math. Soc. 1919, 11: 205–243.
• C. Pisot. La répartition modulo 1 et nombres algébriques. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7. 1938: 205–248.
• A. Thue. Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann. Christiania Vidensk. selsk. Skrifter. 1912, 2 (20): 1–15. JFM 44.0480.04.

外部連結

• Pisot number （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Encyclopedia of Mathematics
• Terr, David and Weisstein, Eric W. Pisot Number. MathWorld.