塑膠數

塑膠數或銀數是一元三次方程 ${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$ 的唯一一個實數根，其值為

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}}$

塑膠數

塑膠數
數表—無理數 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
識別
種類	無理數
符號	${\displaystyle \rho }$
位數數列編號	A060006
性質
連分數	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...][1]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}$
表示方式
值	${\displaystyle \rho \approx }$1.3247179572...
代數形式	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}}$
二進制	1.010100110010000010110111…
八進制	1.246202672354510453326027…
十進制	1.324717957244746025960908…
十六進制	1.5320B74ECA44ADAC178897C4…
閱 論 編

約等於${\displaystyle 1.3247179572447460259609}$ （OEIS數列A060006）。

塑膠數對於佩蘭數列和巴都萬數列，就如黃金分割對於斐波那契數列——是兩項的比的極限。它亦是最小的皮索數。

塑膠數的來源

塑膠數是方程${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$的唯一實數根。

對於方程${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$，現將等式右邊變為0，即

${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}$

由勘根定理可判斷出該實根大小介於1與2之間，設

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{y}}+y\,}$，

則

${\displaystyle y={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-4\lambda }}\,}$

得到

${\displaystyle -1-y-{\frac {\lambda }{y}}+\left(y+{\frac {\lambda }{y}}\right)^{3}=0\,}$

等式兩邊同時乘 ${\displaystyle y^{3}}$ 得

${\displaystyle y^{6}+y^{4}\left(3\lambda -1\right)-y^{3}+y^{2}\left(3\lambda ^{2}-\lambda \right)+\lambda ^{3}=0\,}$

令${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{3}}\,}$，將其帶入上面方程，並設${\displaystyle z=y^{3}\,}$，得到一個${\displaystyle z}$的二次方程

${\displaystyle z^{2}-z+{\frac {1}{27}}=0\,}$

解得

${\displaystyle z={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}$

根據${\displaystyle z=y^{3}\,}$，得

${\displaystyle y^{3}={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}$

則${\displaystyle y}$有實數解

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}$

根據${\displaystyle y}$與${\displaystyle \lambda }$的關係，得${\displaystyle y={\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-{\tfrac {4}{3}}}}\,}$，得${\displaystyle x}$的實數解

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}$

參考文獻

1. Sequence A072117 in the OEIS