疊加原理

在物理學與系統理論中，疊加原理（superposition principle），也叫疊加性質（superposition property），說對任何線性系統「在給定地點與時間，由兩個或多個刺激產生的合成反應是由每個刺激單獨產生的反應之代數和。」

此條目介紹的是線性系統中的「疊加原理」。關於其它使用，請見「疊加」。

遠處傳來的幾乎平面波（對角線）與鴨子航跡產生的波之疊加，在水中只近似滿足線性關係。

從而如果輸入 A 產生反應 X，輸入 B 產生 Y，則輸入 A+B 產生反應 (X+Y)。

用數學的話講，對所有線性系統 F(x)=y，其中 x 是某種程度上的刺激（輸入）而 y 是某種反應（輸出），刺激的疊加（即「和」）得出分別反應的疊加：

${\displaystyle F(x_{1}+x_{2}+\cdots )=F(x_{1})+F(x_{2})+\cdots .}$

在數學中，這個性質更常被叫做可加性。在絕大多數實際情形中，F 的可加性表明它是一個線性映射，也叫做一個線性函數或線性算子。

此原理在物理學與工程學中有許多應用，因許多物理系統可以線性系統為模型。例如，一個梁可作為一個線性系統，其中輸入刺激是在樑上的結構荷重，而輸出反應是梁的撓度。因為物理系統通常只是近似線性的，疊加原理往往只是真實物理現象的近似；從這裏可以察知這些系統的操作區域。

疊加原理適用於任何線性系統，包括代數方程式、線性微分方程式、以及這些形式的方程組。輸入與反應可以是數、函數、向量、向量場、隨時間變化的信號、或任何滿足一定公理的其它對象。注意當涉及到向量與向量場時，疊加理解為向量和。

與傅立葉分析及類似方法的關係

通過將線性系統中一個非常一般的刺激寫成一些特定的簡單形式的刺激之疊加，利用疊加原理，通常使反應變得容易計算。

例如，在傅立葉分析中，刺激寫成無窮多個正弦波的疊加。由於疊加原理，每個這樣的正弦波可單獨分析，各自的反應可計算出來。（反應自己也是一個正弦波，與刺激的頻率相同，但一般有不同的振幅與相位。）根據疊加原理，原來的刺激的反應是所有單獨的正弦波反應之總和（或積分）。

另一個常見的例子，在格林函數分析中，刺激寫成無窮多個脈衝函數的疊加，而反應是脈衝響應的疊加。

傅立葉分析對波是常用的。例如，在電磁理論中，通常的光描述為平面波（固定頻率、極化與方向的波）的疊加。只要疊加原理成立（通常成立但未必一定；見非線性光學），任何光波的行為可理解為這些簡單平面波的行為之疊加。

在波理論中的應用

主條目：波動和波方程式

波通常描述為通過空間與時間的某個參數的變化，例如，水波中的高度，聲波中的壓強，或光波中的電磁場。這個參數的值稱為波的振幅，而波本身是確定在每一點的振幅的一個函數。

在任何有波的系統中，在給定時間的波形式是該系統的源（即可能存在的產生或影響波的外力）與初始條件的函數。在許多情形（例如經典波方程式），描述波的方程式是線性的。如果該條件成立，則可以使用疊加原理。這就意味着由在同一空間中傳播的兩個或多個波的合成振幅，是由每個波單獨產生的振幅之和。例如，兩個相向傳播的波將徑直互相穿過，在另一邊不會有任何變形（見最上面的圖）。

波干涉

主條目：干涉

波之間的干涉即基於此想法。當兩個或更多波在同一個空間中傳播，在每一點的合成振幅是各個波的振幅之和。在某些情形，比如抗噪耳機，合成變量的振幅比各個分變量都小；這稱為消極干涉。在另一種情形，比如線陣音箱（英語：Line array），合成變量振幅比各個分變量都大；這成為積極干涉。

合成 波形式
波 1
波 2
	相位相同	相位差180°

線性的喪失

值得注意的是在大多數實際物理情形中，支配波的方程式只是近似線性。在這些情形，疊加原理只是近似成立。作為一個法則，當波的振幅越小時近似的準確性程度越高。當疊加原理不是準確地成立時的現象可參見非線性光學與非線性聲學。

量子疊加

主條目：量子疊加

在量子力學中，一個主要問題是如何計算一個特定類型波的傳播與行為。這個波叫做波函數，支配波的行為的方程式稱為薛定諤波動方程式。計算一個波函數的行為的一個主要方法是將波函數寫成（可能無窮個）一些行為特別簡單的穩定態的波函數之疊加（稱為量子疊加）。因為薛定諤波方程式是線性的，原來波函數的行為可以通過疊加原理來計算^[1]，參見量子疊加。

邊界值問題

主條目：邊界值問題

一類通常的邊界值問題抽象地說是尋找一個函數 y 使其滿足某個方程式

${\displaystyle F(y)=0}$

以及邊界條件

${\displaystyle G(y)=z}$

例如，在狄利克雷邊界條件下拉普拉斯方程式的中，F 是一個區域 R 上的拉普拉斯算子，G 是將 y 限制於 R 的邊界上的算子，z 是 y 在 R 的邊界上要求滿足的函數。

在這種情形下 F 與 G 都是線性算子，則疊加原理說第一個方程式的一些解的疊加是第一個方程式的另一個解：

如果 ${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0}$ 則 ${\displaystyle F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0}$

而邊界值為：

${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2})}$

利用這一事實，如果一組解可以組成第一個方程式的解，則這些解小心地疊加起來可使其滿足第二個方程式。這是解邊界值問題的一個通常方法。

其它應用示例

• 在電機工程學的一個線性電路中，輸入（一個應用時變電壓信號）與輸出（在迴路中任何一處的電流或電壓）通過一個線性變換相關。從而如數信號的疊加（即和）將得出反應的疊加。以此為基礎應用傅立葉分析特別普遍。電路分析中另一個有關技術參見疊加定理。

• 在物理學中，麥克斯韋方程式蘊含（可能隨時間變化）電荷與電流和電場與磁場通過一個線性變換相關。從而疊加原理可用來簡化由給定電荷與電流分佈引起的物理場的計算。此原理也用於物理學中其它線性微分方程式，比如熱方程式。

• 在機械工程中，疊加用來解組合荷重的梁與結構的形變，如果作用是線性的（即每個荷重不影響其他荷重的結果且每個荷重的作用不明顯改變結構系統的幾何^[2]）。

• 在水文地質學中，疊加原理用於在一個理想蓄水層中抽水的水井的水位降低量（英語：Drawdown (hydrology)）。

• 在過程控制中，疊加原理用於模型預估計控制（英語：model predictive control）。

• 疊加原理可用於利用線性化分析一個非線性系統的已知解的小導數。

• 在音樂中，理論家約瑟夫·施林格（英語：Joseph Schillinger）利用疊加原理的一種形式作為他《音樂作曲施林格系統》中的「音律理論」。

參見

• 衝激響應
• 格林函數
• 態疊加原理
• 干涉
• 相干性
• 卷積

參考文獻

1. Quantum Mechanics, Kramers, H.A. publisher Dover, 1957, p. 62 ISBN 978-0-486-66772-0
2. Mechanical Engineering Design, By Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Published 2004 McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1

進一步的閱讀

• Haberman, Richard. Applied Partial Differential Equations. Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-065243-1.
• Superposition of sound waves（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）