波向量

波向量是波的向量表示方法。波向量是一個向量，其大小表示波數（${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$），其方向表示波傳播的方向。

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。四維向量用加有標號的斜體顯示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。為了避免歧意，四維向量的斜體與標號之間不會有括號。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二個分量。

波向量在狹義相對論背景下可定義為四維向量。

定義

參見：行波

正弦波波長λ可以通過測量相位相同的任意相鄰兩點間的距離得到，這兩點可以是相鄰的波峰、波谷或是如圖所示的零交點（英語：Zero crossing）。

當波行進時，給定點的值以正弦作正弦振動。

波向量有兩種常見的定義，區別在於振幅因子是否乘以${\displaystyle 2\pi }$，兩種定義分別用於物理學和晶體學以及它們的相關領域。^[1]

物理學定義

理想的一維行波遵循如下方程式：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$

其中：

• x為位置；
• t為時間；
• ${\displaystyle \psi }$（x和t的函數）是對波進行描述的擾動（例如對於海浪，${\displaystyle \psi }$是超出水面的高度；對於聲波，${\displaystyle \psi }$是超氣壓）；
• A是波的振幅（振動的峰值）；
• ${\displaystyle \varphi }$是相位偏移，描述了兩個波互相之間不同步的程度；
• ${\displaystyle \omega }$是波的角頻率，描述了在一個給定點波振動的快慢程度；
• ${\displaystyle k}$是波數，與波長成反比，由${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$求出。

此波在+x方向上行進，相速度為${\displaystyle \omega /k}$。

推廣到三維情況下，方程式為：

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}$

其中：

• r是三維空間中的位置向量；
• ${\displaystyle \cdot }$ 是向量點積；
• k是波向量。

這一方程式描述了平面波。一維情況下，波向量的大小是角波數${\displaystyle |{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。波向量的方向是平面波行進的方向。

晶體學定義

在晶體學中，描述相同的波的方程式略有不同。^[2]在一維和三維情況下的方程式分別為：

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}$

${\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)}$。

不同點在於：

• 晶體學定義使用了頻率${\displaystyle \nu }$，而不是角頻率${\displaystyle \omega }$，由公式${\displaystyle 2\pi \nu =\omega }$，二者可以相互轉換。這種置換主要反映了在晶體學中的常見應用。
• 波數k以及波向量k的定義方式不同。此處的${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda }$，而在物理學定義中，${\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda }$。

狹義相對論

接近單色光的波包可以由波向量

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,}$

準確描述，若明確的改寫成共變和反變形式，則

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,}$且

${\displaystyle k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,}$。

於是波向量的大小為

${\displaystyle k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,}$

${\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,}$

最後一步等於零是因為對於真空中的光滿足

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,}$

勞侖茲變換

對波向量作勞侖茲變換可導出相對論性都卜勒效應。勞侖茲矩陣定義為

${\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$。

在光被快速移動的波源激發的情況下，若要在地球坐標系（實驗室坐標系）中檢定光的頻率，就要使用勞侖茲變換，如下所示。注意波源位於坐標系S ^s，地球位於觀測系S ^obs。 對波向量進行勞侖茲變換得到

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,}$。

只考慮${\displaystyle \mu =0}$分量的情況，得到

${\displaystyle k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,}$。

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{c}}\,}$	${\displaystyle =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,}$
	${\displaystyle \quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,}$ 其中${\displaystyle \cos \theta \,}$是${\displaystyle k^{1}}$關於${\displaystyle k^{0}}$的方向餘弦${\displaystyle k^{1}=k^{0}\cos \theta }$。

因此

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,}$

波源遠離觀測者

當波源徑直地遠離觀測者時，${\displaystyle \theta =\pi }$，方程式變為：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,}$。

波源接近觀測者

當波源徑直地接近觀測者時，${\displaystyle \theta =0}$，方程式變為：

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,}$。

參考文獻

• Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.

1. 物理學定義：Handbook of Physics, by Harris, Benenson, Stöcker, 第288頁. 晶體學定義：Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259頁.
2. Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259頁