方塊矩陣

方塊矩陣，也稱方陣、方矩陣或正方矩陣^[1]，是行數及列數皆相同的矩陣。由${\displaystyle n\times n\,}$矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成環。除了${\displaystyle n=1\,}$，此環並不是交換環。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有單位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣${\displaystyle I_{n}\,}$的對角線全是1而其他位置全是0，對所有${\displaystyle m\times n\,}$矩陣${\displaystyle M\,}$及${\displaystyle n\times k\,}$矩陣${\displaystyle N\,}$都有${\displaystyle MI_{n}=M\,}$及${\displaystyle I_{n}N=N\,}$。 例如，若${\displaystyle n=3\,}$：

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元素稱為可逆矩陣或非奇異方陣。${\displaystyle n\times n\,}$矩陣${\displaystyle A\,}$是可逆當且僅當存在矩陣${\displaystyle B\,}$使得

${\displaystyle AB=I_{n}(=BA)\,}$。

此時${\displaystyle B\,}$稱為${\displaystyle A\,}$的逆矩陣，並記作${\displaystyle A^{-1}\,}$。 所有${\displaystyle n\times n\,}$矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字${\displaystyle \lambda \,}$和非零向量${\displaystyle {\vec {v}}\,}$滿足${\displaystyle A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\,}$，則${\displaystyle {\vec {v}}\,}$為${\displaystyle A\,}$的一個特徵向量，${\displaystyle \lambda \,}$是其對應的特徵值。數字${\displaystyle \lambda \,}$為${\displaystyle A\,}$的特徵值當且僅當${\displaystyle A-\lambda I_{n}\,}$可逆，又當且僅當${\displaystyle p_{A}(\lambda )=0\,}$。這裏，${\displaystyle p_{A}(x)\,}$是${\displaystyle A\,}$的特徵多項式。特徵多項式是一個${\displaystyle n\,}$次多項式，有${\displaystyle n\,}$個複根（考慮重根），即${\displaystyle A\,}$有${\displaystyle n\,}$個特徵值。

方塊矩陣${\displaystyle A\,}$的行列式是其${\displaystyle n\,}$個特徵值的積，但亦可經由萊布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用來計算矩陣的行列式，秩，逆矩陣，並解決線性方程組。

矩陣的跡是${\displaystyle n\times n\,}$矩陣的對角線元素之和，也是其${\displaystyle n\,}$個特徵值之和。

所有正交矩陣都是方塊矩陣。

方塊矩陣的等價命題

線性代數中，下列關於方塊矩陣A的命題是等價的（同時成立，或同時不成立）：

1. A 可逆 ； A的反矩陣存在。
2. det(A) ≠ 0 。
3. rank(A) = n 。
4. Null(A) = 0 。
5. A的特徵值中沒有0。
6. 對任意b屬於Fⁿ，Ax = b有唯一解。
7. Ax = 0只有平凡解。
8. A^TA可逆。
9. A與單位矩陣行（列）等價。
10. A的行向量或列向量張成Fⁿ 。
11. A的零空間只有零向量。
12. A的值域為Fⁿ 。
13. A的行（列）向量構成Fⁿ (Fⁿ)中向量的線性無關集。

這裏，F為矩陣元素所屬的域。通常，這個域為實數域或複數域。

參考資料

1. 存档副本. [2015年2月26日]. （原始內容存檔於2015年2月26日）.，國家教育研究院（繁體中文）