指數增長（包括指數衰減）指一個函數的增長率與其函數值成比例。在定義域為離散的且等差的情況下。 該圖說明了指數增長（綠色）如何超過線性增長（紅色）和冪增長（藍色）。 指數增長 線性增長 冪增長 指數增長模型也稱作馬爾薩斯增長模型。 基本公式 變量x指數地依賴時間t，若 x ( t ) = a ⋅ b t τ {\displaystyle x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,} 其中常數a是x的初始值， x ( 0 ) = a , {\displaystyle x(0)=a\,,} 並且，常數b是正的增長率，τ為x增長b倍所需時間： x ( t + τ ) = x ( t ) ⋅ b . {\displaystyle x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.} 若τ > 0且b > 1，則x為指數增長。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，則x為指數衰減。 微分方程 指數函數 x ( t ) = a e k t {\displaystyle \scriptstyle x(t)=ae^{kt}} 滿足線性微分方程： d x d t = k x {\displaystyle \!\,{\frac {dx}{dt}}=kx} 則稱t時刻x的增長率與函數值x(t)成正比，且初值為： x ( 0 ) = a . {\displaystyle x(0)=a.\,} 對於 a > 0 {\displaystyle \scriptstyle a>0} 微分方程可以使用分離變量法求解： d x d t = k x {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx} ⇒ d x x = k d t {\displaystyle \Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt} ⇒ ∫ d x x = ∫ k d t {\displaystyle \Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt} ⇒ ln x = k t + constant . {\displaystyle \Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.} 考慮到給定初值： ln x = k t + ln a {\displaystyle \ln x=kt+\ln a\,} ⇒ x = a e k t {\displaystyle \Rightarrow x=ae^{kt}\,} 這種解法對於 a ≤ 0 {\displaystyle \scriptstyle a\leq 0} 同樣適用。 對於該增長模型的非線性變體，請參考Logistic函數。 相關條目 摩爾定律 國際象棋盤與麥粒問題 文內註釋 資料引用 Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0 Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8 Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5 Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004. Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
滿足線性微分方程：
微分方程可以使用分離變量法求解：
同樣適用。
