在相對論 中，快度 通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角 ，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之間的差異——它們的時空坐標為洛侖茲轉換所聯繫。
對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式 。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特別地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。
我們使用反雙曲函數artanh v w w = artanh(v / c )c w v / c −c < v < c v / c −1 < v / c < 1 定義域 為(−1, 1) 值域 為整條實數線 ，所以可以將區間−c < v < c −∞ < w < ∞
在1908年赫爾曼·閔考斯基 指出勞倫茲轉換 可以被簡單的轉換為座標時 中的雙曲旋轉 [ 1] [ 2]
1910年，弗拉基米爾·瓦里卡克 [ 3] E. T. 惠特克 [ 4] 阿爾弗雷德·羅伯 [ 5] 盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和華夫岡·潤德勒 (2001)。
快度w 勞倫茲變換 的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積
(
c
t
′
x
′
)
=
(
cosh
w
−
sinh
w
−
sinh
w
cosh
w
)
(
c
t
x
)
=
Λ
(
w
)
(
c
t
x
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}
矩陣Λ (w )
(
p
q
q
p
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}
p q p 2 - q 2 = 1(p , q ) 單位雙曲線 不定正交群 O(1,1) ，伴隨着由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖 上被描繪出來。
在矩陣指數 表示法中，Λ (w )
Λ
(
w
)
=
e
Z
w
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}
Z
Z
=
(
0
−
1
−
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}
不難證明
Λ
(
w
1
+
w
2
)
=
Λ
(
w
1
)
Λ
(
w
2
)
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}
這顯現出了快度實用的求和性質：若A B C 參考座標系 ，則
w
AC
=
w
AB
+
w
BC
{\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}
其中 w PQ Q P 速度加成式 相比，這個式子更為簡潔。
我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子 等同於cosh w
γ
=
1
1
−
v
2
/
c
2
≡
cosh
w
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}
因此快度w 勞倫茲轉換 中的γ β 中。我們將快度與速度加成式 聯繫在一起
u
=
(
u
1
+
u
2
)
/
(
1
+
u
1
u
2
/
c
2
)
{\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}
藉由
β
i
=
u
i
c
=
tanh
w
i
{\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}
從而得到
tanh
w
=
tanh
w
1
+
tanh
w
2
1
+
tanh
w
1
tanh
w
2
=
tanh
(
w
1
+
w
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}
β γ
β
γ
=
sinh
w
{\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,}
固有加速度 （一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間 （一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列「非物理的」參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。
由上述的表達式可以得到
e
w
=
γ
(
1
+
β
)
=
γ
(
1
+
v
c
)
=
1
+
v
c
1
−
v
c
{\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}
因此
e
−
w
=
γ
(
1
−
β
)
=
γ
(
1
−
v
c
)
=
1
−
v
c
1
+
v
c
{\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}
或是更加清楚地表示為
w
=
ln
[
γ
(
1
+
β
)
]
=
−
ln
[
γ
(
1
−
β
)
]
{\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}
相對論性都普勒效應 因子與快度w
k
=
e
w
{\displaystyle k=e^{w}}
相對論性速度
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
[ 6]
s
o
(
3
,
1
)
⊃
s
p
a
n
{
K
1
,
K
2
,
K
3
}
≈
R
3
∋
w
=
β
^
tanh
−
1
β
,
β
∈
B
3
,
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}
其中的向量
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
勞侖茲群 對應的李代數
o
(
3
,
1
)
≈
s
o
(
3
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}
推進生成元
K
1
,
K
2
,
K
3
{\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}
o
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}
c
{\displaystyle c}
c
=
1
{\displaystyle c=1}
|
β
|
<
1
{\displaystyle |\beta |<1}
1
{\displaystyle 1}
B
3
{\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}
一般性的快度求和公式為[ 7] [ nb 1]
w
=
β
^
tanh
−
1
β
,
β
=
β
1
⊕
β
2
,
{\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}
其中
β
1
⊕
β
2
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}
速度加成式 ，
β
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
θ
{\displaystyle \theta }
w
1
,
w
2
{\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}
w
≡
|
w
|
{\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}
餘弦的雙曲關係 [ 8]
cosh
w
=
cosh
w
1
cosh
w
2
+
sinh
w
1
sinh
w
2
cos
θ
{\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta }
快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何 。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。[ 9] 龐加萊圓盤模型 來想像[ 7] 保距同構 閔考斯基時空的幾何 條目中有更多相關的細節。
兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
Λ
=
e
−
i
θ
⋅
J
e
−
i
w
⋅
K
{\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }}
這裏使用到了物理學家慣用的指數映射。
這是交換法則所致的結果
[
K
i
,
K
j
]
=
−
i
ϵ
i
j
k
J
k
{\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}}
其中
J
k
{\displaystyle J_{k}}
旋轉群 的生成元，
(
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle (k=1,2,3)}
湯瑪斯進動 現象有關。連結中的文章有關於參數
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
一個非零（靜止）質量m E |p |
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}}
|
p
|
=
γ
m
v
{\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv}
透過快度w
w
=
artanh
v
c
{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}}
並且
cosh
w
=
cosh
(
artanh
v
c
)
=
1
1
−
v
2
c
2
=
γ
{\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }
sinh
w
=
sinh
(
artanh
v
c
)
=
v
c
1
−
v
2
c
2
=
β
γ
{\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma }
能量和動量大小可以被表示為
E
=
m
c
2
cosh
w
{\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}
|
p
|
=
m
c
sinh
w
{\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w}
所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：
w
=
artanh
|
p
|
c
E
=
1
2
ln
E
+
|
p
|
c
E
−
|
p
|
c
{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}}
然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義
y
=
1
2
ln
E
+
p
z
c
E
−
p
z
c
{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}}
其中p z [ 10] 贗快度 。
![{\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e880a524c2540a67539b1dc6e477ba9dc7059002)
![{\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8049ea97a76dcb266ab9baad829357561e4a0718)
