快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之間的差異——它們的時空坐標為洛侖茲轉換所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特別地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數artanh來定義快度，當速度為v時，其對應的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度較慢時，w約為v / c。由於在相對論中，速度v被局限於區間−c < v < c，因此比率v / c將滿足−1 < v / c < 1。反雙曲正切函數的定義域為(−1, 1)，而值域為整條實數線，所以可以將區間−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。

歷史

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉（英語：hyperbolic rotation），即為一個虛數角度的旋轉。^[1] 這個角度在一維空間中可以代表着座標系間速度的度量，且具有可加性。^[2]

1910年，弗拉基米爾·瓦里卡克（英語：Vladimir Varićak）^[3]和E. T. 惠特克^[4]提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被阿爾弗雷德·羅伯（英語：Alfred Robb） (1911)^[5]命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和華夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積

雙曲函數xy=1的求積法（英語：quadrature (mathematics)），是由格雷瓜爾·德·聖-文森特（英語：Gregoire de Saint-Vincent）提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿着漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。 在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定「位置」和「時刻」的「（絕對）過去」、「（絕對）未來」和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點${\displaystyle (1,1)}$。任何一個雙曲線上的點都能以點${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ 表示，其中的w即為快度，同時w也是從點${\displaystyle (1,1)}$ 到點${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中

快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}$

矩陣Λ(w)為${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$的形式，其中p和q滿足關係p² - q² = 1，因此(p, q)將會落在單位雙曲線（英語：unit hyperbola）上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨着由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中，Λ(w)可以被表示為${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$，其中Z是矩陣

${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

不難證明

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}$

這顯現出了快度實用的求和性質：若A，B和 C為參考座標系，則

${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}$

其中 w_PQ 表示了參考座標系Q相對於參考座標系P的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於cosh w

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}$

因此快度w作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的γ和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

${\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}$

藉由

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$

從而得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}$

β和γ的乘積時常出現，從先前的討論可知

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,}$

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列「非物理的」參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係

由上述的表達式可以得到

${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}$

因此

${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}$

或是更加清楚地表示為

${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}$

相對論性都普勒效應因子與快度w的關係為${\displaystyle k=e^{w}}$。

在多維空間中

相對論性速度${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$與快度${\displaystyle \mathbf {w} }$為下列關係所聯繫^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$

其中的向量${\displaystyle \mathbf {w} }$是勞侖茲群對應的李代數${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}$中，由三個推進生成元（英語：Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases）${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}$。因為光速${\displaystyle c}$是速度量值的上限（選用單位使得${\displaystyle c=1}$），所以速度符合條件${\displaystyle |\beta |<1}$，因此速度空間可以用一個半徑為${\displaystyle 1}$的開球${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$表示。

一般性的快度求和公式為^{[7][nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}$

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}$對應到速度加成式，${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$是${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為${\displaystyle \theta }$的快度${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}$之和的模${\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}$（歐氏空間中的長度）由餘弦的雙曲關係（英語：hyperbolic law of cosines）給出^[8]

${\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta }$

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。^[9]因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像^[7]，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立保距同構（英語：Isometry (Riemannian geometry)）。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$來參數化的旋轉，兩者組合而成。

${\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }}$

這裏使用到了物理學家慣用的指數映射。 這是交換法則所致的結果

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}}$

其中${\displaystyle J_{k}}$是旋轉群的生成元，${\displaystyle (k=1,2,3)}$，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$的計算方法。

在粒子物理中

一個非零（靜止）質量m粒子的能量E以及動量的大小|p| 為：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv}$

透過快度w的定義

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}}$

並且

${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$

${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma }$

能量和動量大小可以被表示為

${\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w}$

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}}$

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}}$

其中p_z是沿着粒子束方向的動量分量^[10]。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見

• Bondi k-calculus（英語：Bondi k-calculus）
• 勞倫茲變換
• 贗快度
• 固有速度
• 相對論

註釋

1. 這可以被理解成，欲求給定兩個速度所對應到的快度和，實際上就是在對原速度作相對論性的求和，再求出該速度對應的快度。此外，快度從${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$上也繼承了三維向量加法的求和性質，這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時，請依照上下文判斷是哪一種求和。

參考文獻

1. 赫爾曼·閔考斯基 (1908) Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies via Wikisource
2. Sommerfeld, Phys. Z 1909
3. 弗拉基米爾·瓦里卡克（英語：Vladimir Varicak） (1910)Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity Physikalische Zeitschrift 經由維基文庫
4. 埃德蒙·泰勒·惠特克 (1910) A History of the Theories of the Aether and Electricity, 第441頁，經由互聯網檔案館.
5. 阿爾弗雷德·羅伯（英語：Alfred Robb） (1911) Optical Geometry of Motion p.9
6. Jackson 1999，第547頁
7. Rhodes & Semon 2003 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFRhodesSemon2003 (幫助)
8. Robb 1910, Varićak 1910，Borel 1913
9. Landau & Lifshitz 2002，Problem p. 38 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFLandauLifshitz2002 (幫助)
10. Amsler, C. et al., "The Review of Particle Physics" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2

• Varićak V（英語：Vladimir Varićak） (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications（英語：Vladimir Varićak#Publications）
• Whittaker, E. T. A history of the theories of aether and electricity: 441. 1910 [22 January 2016].
• Robb, Alfred. Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons. 1911.
• 埃米爾·博雷爾 (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
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• Vladimir Karapetoff（英語：Vladimir Karapetoff） (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", 赫爾曼·邦迪 43:70.
• 法蘭克·莫雷 (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009.
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