點P被包圍在閉合曲面
內。
根據格林第二恆等式,假若在體積
內,函數
和
都是二次連續可微,則
;
其中,閉合曲面
是體積
的表面,
是從閉合曲面
向外指出的微小面元素向量。
這方程式的左手邊是積分於體積
,右手邊是積分於這體積的閉合曲面
。
設定函數
滿足單色波的亥姆霍茲波動方程式:
。
設定
為一種格林函數,是可以描述傳播於自由空間、滿足數值在無窮遠為零的邊界條件的圓球面出射波:
;
其中,
。
這函數
滿足關係式
;
其中,
是三維狄拉克δ函數。
將
、
的滿足式代入,則格林第二恆等式變為
。
為了標記原因,對換無單撇號與有單撇號的變量。這樣,
標記檢驗位置,
標記源位置:
。
假若波擾
的位置在體積
內,即點P被包圍在閉合曲面
內,則
寫為
。
閉合曲面
是由閉合曲面
與閉合曲面
共同組成。點P處於曲面
之內,曲面
之外。
上述公式應用於點P被包圍在閉合曲面內的物理案例,即從位於閉合曲面的次波源所發射出的次波,在閉合曲面內的點P所產生的波擾。大多數繞射案例計算,從延伸尺寸波源發射出的波,其波前所形成的閉合曲面,在閉合曲面的所有次波源,所發射出的次波,在閉合曲面外的點P所產生的波擾;對於這些案例,點P在閉合曲面之外,延伸波源在閉合曲面之內。這公式也可以推導為點P在閉合曲面外,波源在閉合曲面之內的物理案例。如右圖所示,假設閉合曲面
是由閉合曲面
與閉合曲面
共同組成,曲面
被包圍在曲面
的內部。點P處於曲面
之內,曲面
之外。
讓曲面
的半徑趨於無窮大,則對於曲面
的任意點Q,
、
,被積函數趨向於零,快過
平方反比的趨向於零,滿足「索莫菲輻射條件」(Sommerfeld radiation condition),因此在曲面
的總貢獻為零。[2]所以,在點P的波擾為
。
注意到微小面元素向量
的方向是從曲面
向內指入。現在,將微小面元素向量
的方向改為與原本方向相反:
,即從閉合曲面
向外指出,則可得到基爾霍夫積分定理的表達式:
。
假設
是與
同方向的單位向量,是垂直於閉合曲面
的法向量。那麼,法向導數與梯度的關係為
。
所以,基爾霍夫積分定理的另一種表達式為
。
總結,只考慮單色波,位於點P的波擾
,可以以位於閉合曲面
的所有波擾
與其梯度
來表達。[2]