給予在源位置
的含時電荷分佈或含時電流分佈,計算在場位置
產生的推遲勢。
對於靜態的電荷分佈和電流分佈,電勢
和磁向量勢
分別定義為
、
;
其中,
是場位置,
是源位置,
是真空電容率,
是真空磁導率,
是電荷密度,
是電流密度,
是體積分的空間,
是微小體元素。
在電動力學裏,這兩個方程式必須加以延伸,才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間
為檢驗時間
減去電磁波傳播的時間:
;
其中,
是光速。
假設,從源位置
往場位置
發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間
抵達觀測者的場位置
,則這束電磁波發射的時間是推遲時間
。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間
,會不同於這電磁波發射的推遲時間
。
推遲純量勢
與推遲向量勢
分別用方程式定義為
、
。
請注意,在這兩個含時方程式內,源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間
有關,而不是與時間無關。
這兩個含時方程式,是用推理得到的啟發式,而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播,從源位置到場位置,需要有限時間。所以在時間
的推遲勢必定是由在推遲時間
的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性,必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式[1]。還有,勞侖次規範是一個常用的規範,可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。
含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢,必須遵守達朗貝爾方程式,表達為[2]:1
、
。
假若,這些用啟發法推理得到的推遲純量勢
和推遲向量勢
不能滿足非齊次的電磁波方程式,那麼,這些推遲勢很可能有重大錯誤,無法適用於期望的用途(從含時源生成電磁輻射)。
設定
為從源位置到場位置的分離向量:
。
場位置
、源位置
和時間
都是自變數(independent variable)。分離向量
和其大小
都是應變數(dependent variable),跟場位置
、源位置
有關。推遲時間
也是應變數,跟時間
、分離距離
有關。
推遲純量勢
的梯度是
。
源電荷密度
的全微分是
。
注意到
、
。
所以,源電荷密度
的梯度是
;
其中,
定義為
。
將這公式代入,推遲純量勢
的梯度是
。
推遲純量勢
的拉普拉斯算符是
;
其中,
是三維狄拉克δ函數。
所以,推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式
。
類似地,可以證明推遲向量勢
滿足非齊次的電磁波方程式。
推遲勢與電場
、磁場
的關係分別為
、
。
按照前述方法,可以得到電場
和磁場
的方程式,又稱為傑斐緬柯方程式[1]:
、
。
定義超前時間
為現在時間
加上光波傳播的時間:
。
超前純量勢
與超前向量勢
分別用方程式表達為
、
。
這兩個方程式表明,在時間
的超前純量勢與超前向量勢,乃是由在超前時間
的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢
與超前向量勢
也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範,但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題,未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏,超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題,並沒有任何實際用途。
Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.