電流密度

在電磁學裏，電流密度（current density）是電荷流動的密度，即每單位截面面積電流量。電流密度是一種向量，一般以符號${\displaystyle \mathbf {J} }$表示。採用國際單位制，電流密度的單位是安培／米²（ampere/meter²，A/m²）。

定義

電流密度 J 可以簡單地定義為通過單位面積 A（國際單位：m²）的電流 I（國際單位：A）。它的量值由極限給出：^[1]

${\displaystyle J=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I(A)}{A}}}$

當電流密度作為向量 J 時，在曲面 S 上進行曲面積分後，再對持續時間 t₁ 到 t₂ 積分，得到 (t₂ − t₁) 這段時間流過該面的電荷總量：

${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t}$

計算通量所用到的面積可實可虛，可平可曲，可為截面也可為表面。例如，對於通過導體的載流子來說，這裏遇到的面積是導體的截面。

重要性

對於電力系統和電子系統的設計而言，電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關，而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如，隨着積體電路的尺寸越變越小，雖然較小的元件需要的電流也較小，為了要達到晶片內含的元件數量密度增高的目標，電流密度會趨向於增高。更詳盡細節，請參閱摩爾定律。

在高頻頻域，由於趨膚效應，傳導區域會更加侷限於表面附近，因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的電阻是有限的正值，會以熱能的形式消散功率。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒，並且防止絕緣材料遭到損壞，電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高，材料與材料之間的互連部分會開始移動，這現象稱為電遷移（electromigration）。在超導體裏，過高的電流密度會產生很強的磁場，這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察，可以用來探測固體內在的物理性質，包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域，材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論，來解釋很多機要的實驗觀察^[2]。

安培力定律描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安培力定律的一個重要參數，

計算電流密度

自由電流

大自然有很多種載有電荷的粒子，稱為「帶電粒子」，例如，導電體內可移動的電子、電解液內的離子、等離子體內的電子和離子、強子內的夸克^[3]。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=qn(\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$是在位置${\displaystyle \mathbf {r} }$、在時間${\displaystyle t}$的電流密度向量，${\displaystyle q}$是帶電粒子的電荷量，${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$是帶電粒子密度，是單位體積的帶電粒子數量，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$是帶電粒子的平均漂移速度。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$是電場，${\displaystyle \mathbf {J} }$是電流密度，${\displaystyle \sigma }$是電導率，是電阻率的倒數。

推導

歐姆定律示意圖 電阻公式闡明，一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體長度成正比，與截面面積成反比。以方程式表達， ${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}}$； 其中，${\displaystyle R}$是電阻，${\displaystyle \ell }$是物體長度，${\displaystyle A}$是物體的截面面積，${\displaystyle \rho }$是電阻率。 根據歐姆定律，電壓${\displaystyle V}$等於電流${\displaystyle I}$乘以電阻： ${\displaystyle V=IR}$。 所以， ${\displaystyle V=I\rho {\frac {\ell }{A}}}$。 注意到在物體內，電場與電壓的關係為 ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {V}{\ell }}{\hat {z}}}$； 其中，${\displaystyle {\hat {z}}}$是電流方向。 所以， ${\displaystyle \mathbf {E} =\rho {\frac {I}{A}}{\hat {z}}=\rho \mathbf {J} }$。 電導率為電阻率的倒數，${\displaystyle \sigma =1/\rho }$。電流密度與電場的關係為 ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$。

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '}$和${\displaystyle t'}$分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率${\displaystyle \sigma }$在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的線性響應函數（linear response function）推導^[4]。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當${\displaystyle \Delta t<0}$時，${\displaystyle \varepsilon _{r}(\Delta t)=0}$，則這積分的上限可以延伸至無窮大：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$。

做一個對於時間與空間的傅立葉變換，根據摺積定理，可以得到

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$；

其中，${\displaystyle \sigma (\mathbf {k} ,\omega )}$是參數為波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$和角頻率${\displaystyle \omega }$的電導率複函數。

許多物質的電導率是張量，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

穿過曲面的電流

電流和電流密度之間的關係

穿過曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的電流${\displaystyle I}$可以用面積分計算為

${\displaystyle I=\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$是電流密度，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$是微小面元素。

連續方程式

主條目：連續方程式

由於電荷守恆，從某設定體積流出的電流的淨流量，等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }{\rho \ \mathrm {d} r^{3}}=-\ \int _{\mathbb {V} }{\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)\mathrm {d} r^{3}}}$；

其中，${\displaystyle \rho }$是電荷密度，${\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}$是微小體元素，${\displaystyle \mathbb {V} }$是閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$所包圍的體積${\displaystyle \mathbb {V} }$流出來，中間和右邊的體積分的負號表示，隨着時間的前進，體積內部的電荷量逐漸減少。

根據散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}}$。

所以，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} r^{3}}$。

注意到對於任意體積${\displaystyle \mathbb {V} }$，上述方程式都成立。所以，兩個被積式恆等：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$。

稱這方程式為連續方程式^[5]。

參閱

• 霍爾效應
• 量子霍爾效應
• 超導現象
• 漂移速度

參考文獻

1. Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
2. Richard P Martin, Electronic Structure:Basic theory and practical methods, Cambridge University Press: pp. 369ff, 2004, ISBN 0521782856 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
3. Anthony C. Fischer-Cripps, The electronics companion, CRC Press: pp. 13, 2004, ISBN 9780750310123 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
4. Jørgen Rammer, Quantum Field Theory of Non-equilibrium States, Cambridge University Press: pp. 158ff, 2007, ISBN 9780521874991 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
5. Griffiths, D.J., Introduction to Electrodynamics 3rd Edition, Pearson/Addison-Wesley: pp. 213, 1999, ISBN 013805326X 引文格式1維護：冗餘文本 (link)