功率

功率（英語：power）定義為能量轉換或使用的速率，以單位時間的能量大小來表示，即是作功的率。功率的國際標準制單位是瓦特（W），名稱是得名於十八世紀的蒸汽引擎設計者詹姆斯·瓦特。燈泡在單位時間內，電能轉換為熱能及光能的量就可以用功率表示，瓦特數越高表示單位時間用的能力（或電力）越高^[1][2][3]。

能量轉換可以作功，功率也是作功的速率。當一個人搬著一重物爬了一層的樓梯，不論他是慢慢的走上樓梯或是快跑上樓梯，對重物作的功是相等的，但若考慮其功率，快跑上樓梯會在較短的時間內對物體作相同大小的功，因此其功率較大。摩打的輸出功率是其摩打產生的轉矩及摩打角速度的乘積，而車輛前進的功率是輪子上的牽引力及車輛速度的乘積。

單位

功率是能量除以時間。國際標準制的功率單位是瓦特（W），等於一焦耳每秒。其他功率單位包括爾格每秒（erg/s）、馬力（hp）、公制馬力及英尺-磅力（英語：foot-pound force）每分。一馬力等於33,000英尺-磅力每分，也就是一秒鐘將550磅的重物提高一英尺所需的功率，約等於746瓦特。其他單位包括：

• 分貝毫瓦（dBm），是以一毫瓦為基準的對數值。
• 卡每小時（或是千卡每小時）。
• 英熱單位每小時（Btu/h）。
• 冷凍噸（12,000 Btu/h）：常用在冷氣或空調系統。

平均功率

考慮一個簡單的例子，燃燒一公斤的煤放出的能量比引爆一公斤的三硝基甲苯要高^[4]，但因為引三硝基甲苯釋放能量的速率比燃燒煤要快很多，因此其產生的功率較大。若令${\displaystyle \Delta W}$是在${\displaystyle \Delta t}$時間內所作的功，則這段時間內的平均功率${\displaystyle P_{\text{avg}}}$由下式給出：

${\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}}$

其中P為功率，W為功，t為時間。

瞬時功率是指時間${\displaystyle \Delta t}$趨近於0時的平均功率：

${\displaystyle P=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}t}}}$

若瞬時功率${\displaystyle P}$為定值，則一段長度為${\displaystyle T}$的時間之內所作的功可以用下式表示：

${\displaystyle W=PT\,.}$

在討論能量轉換問題時，有時用字母${\displaystyle E}$代替${\displaystyle W}$。

力學

在力學中，在某物體上力所做的功由下式給出：

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {d} }$

其中F為作用力，d為位移向量。

功對時間求導即得到瞬時功率，也即力與速度的點積：

${\displaystyle P(t)=\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)}$

故平均功率為：

${\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \;\mathrm {d} t}$

在轉動運動的系統中，功率與力矩和角速度有關：

${\displaystyle P(t)={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

故此時平均功率為

${\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\mathrm {d} t}$.

在流體力學中，功率與壓強和體積流量有關：

${\displaystyle P=p\cdot Q}$

其中p是壓強（以帕斯卡作為單位），Q是體積流量（以m³/s立方米每秒作為單位）。

機械效益

若力學系統沒有損失，則其輸入功率等於輸出功率，因此可以推導系統的機械效益，也就是輸出力和輸入力的比值。

令系統的輸入功率為大小為F_A的力，作用在一個移動速度為v_A的點，而其輸出功率為大小為F_B的力，作用在一個移動速度為v_B的點，假設系統無損失，則

${\displaystyle P=F_{A}v_{A}=F_{B}v_{B},\!}$

系統的機械效益為

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}.}$

在旋轉系統中也可以推得類似的公式，其中T_A及ω_A為輸入到系統的轉矩及角速度，T_B及ω_B為系統輸出的轉矩及角速度，假設系統無損失，則

${\displaystyle P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!}$

因此機械效益為

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}$

上述關係的重要性在於可以根據系統的尺寸推算其速度比，再依速度比定義最佳性能，像齒輪比就是一個例子。

光學中的功率

在光學或輻射度量學中，功率有時會指輻射通量，由電磁輻射傳遞能量的平均速率，單位也是瓦特。

在光學中的光學倍率（Optical power）有時也會簡稱power，是指透鏡或其他光學儀器屈光的能力，單位是屈光度（反米），等於光學儀器焦距的反比。

電功率

主條目：電功率、交流電功率和功率因素

一個元件的瞬時電功率由下式給出：

${\displaystyle P(t)=V(t)I(t)}$

其中 ${\displaystyle I(t)}$ 或 ${\displaystyle I}$ 為電流，${\displaystyle V(t)}$ 或 ${\displaystyle V}$ 為元件兩端的電勢差。^[5]

若元件為線性元件，即電壓與電流之比不隨時間變化，也即服從歐姆定律，則有：

${\displaystyle P=VI=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}}$

其中${\displaystyle R={V \over I}}$為元件的電阻。^[5]

對於交流電的情況，參見交流電功率。

峰值功率及占空比

在理想脈波中，瞬時功率是時間的週期函數。脈波持續時間的比例等於平均功率除以峰值功率的比例，此比例稱為占空比

若是週期為${\displaystyle T}$的週期信號${\displaystyle s(t)}$，像是一連串的理想脈波，其瞬時功率${\displaystyle p(t)=|s(t)|^{2}}$也是週期為${\displaystyle T}$的週期函數。其峰值功率為：

${\displaystyle P_{0}=\max[p(t)]}$.

峰值功率不是持續量測的物理量，儀器比較方便量測的是平均功率${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }}$。若定義單位脈衝的功率為：

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {pulse} }=\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t\,}$

則平均功率為：

${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t={\frac {\epsilon _{\mathrm {pulse} }}{T}}\,}$

也可以定義脈衝長度${\displaystyle \tau }$使得${\displaystyle P_{0}\tau =\epsilon _{\mathrm {pulse} }}$，因此以下的比值

${\displaystyle {\frac {P_{\mathrm {avg} }}{P_{0}}}={\frac {\tau }{T}}\,}$

會相等。此比值即為脈衝的占空比。

參見

• 簡單機械
• 機械利益
• 功
• 電功率
• 熱功率
• 強度 (物理)
• 功率增益
• 脈衝功率
• 功率密度
• 聲功率（英語：Sound power）

參考

1. Halliday and Resnick. 6. Power. Fundamentals of Physics. 1974.
2. Chapter 13, § 3, pp 13-2,3 The Feynman Lectures on Physics Volume I, 1963
3. Chapter 6 § 7 Power Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics 1974.
4. 燒一公斤的煤會放出每公斤15－30百萬焦耳的能量，而引爆一公斤的三硝基甲苯會產生4.7百萬焦耳的能量，有關煤的熱值，可以參考Fisher, Juliya. Energy Density of Coal. The Physics Factbook. 2003 [30 May 2011]. （原始內容存檔於2006-11-07）.有關三硝基甲苯的熱值，可以參考爆炸當量條目。
5. Electric Power and Energy. [2010-05-18].^{[永久失效連結]}