克萊姆法則

克萊姆法則或克拉瑪公式（英語：Cramer's rule / formula）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣與向量的方程來表示：

${\displaystyle Ax=c\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

其中的${\displaystyle A}$是一個${\displaystyle n\times n}$的方塊矩陣，而向量 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}}$ 是一個長度為n的行向量(中國大陸為列向量）。${\displaystyle c=(c_{1},c_{2},\cdots c_{n})^{T}}$ 也一樣。

克拉瑪公式說明：如果${\displaystyle A}$是一個可逆矩陣（ ${\displaystyle \det {A}\neq 0}$ ），那麼方程(1)有解 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}}$，其中

${\displaystyle x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}}$ (1)

當中${\displaystyle x_{i}}$是列向量${\displaystyle x}$的第i行（行向量與列向量不一樣，解釋默認列向量）

當中${\displaystyle A_{i}}$是列向量${\displaystyle c}$取代了${\displaystyle A}$的第i列後得到的矩陣。為了方便，我們通常使用${\displaystyle \Delta }$來表示${\displaystyle \det(A)}$，用${\displaystyle \Delta _{i}}$來表示${\displaystyle \det(A_{i})}$。所以等式(1)可以寫成為：

${\displaystyle x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,}$。

抽象方程

更多資訊：餘因子矩陣

設${\displaystyle R}$為一個環，${\displaystyle A}$就是一個包含${\displaystyle R}$的系數的${\displaystyle n\times n}$矩陣。所以：

${\displaystyle \mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}$

當中${\displaystyle \det(A)}$就是${\displaystyle A}$的行列式，以及${\displaystyle I}$就是單位矩陣。

證明概要

對於${\displaystyle n}$元線性方程組 ${\displaystyle Ax=c}$

把系數矩陣 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}}}$ 表示成行向量的形式

${\displaystyle A=\left(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}\right)}$

由於系數矩陣可逆，故方程組一定有解${\displaystyle x^{*}=A^{-1}c}$.

設${\displaystyle x^{*}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}}$，即

${\displaystyle Ax^{*}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c}$

考慮${\displaystyle \Delta _{i}}$的值，利用行列式的線性和交替性質，有

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{i}&=det\left(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\Delta \end{aligned}}}$

於是

${\displaystyle x_{i}={\frac {\Delta _{i}}{\Delta }}}$

例子

運用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程組。

已知：

${\displaystyle ax+by={\color {red}e}\,}$

${\displaystyle cx+dy={\color {red}f}\,}$

使用矩陣來表示時就是：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

當矩陣可逆時，x和y可以從克萊姆法則中得出：

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

以及

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}}$

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

${\displaystyle ax+by+cz={\color {red}j}\,}$

${\displaystyle dx+ey+fz={\color {red}k}\,}$

${\displaystyle gx+hy+iz={\color {red}l}\,}$

當中的矩陣表示為：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

當矩陣可逆時，可以求出x、y和z：

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$、   ${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$   以及   ${\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的問題時十分有用。

先考慮兩條等式${\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}$和${\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}$。其中的u和v是需要考慮的變量，並且它們互不相關。我們可定義${\displaystyle x=X(u,v)\,}$和${\displaystyle y=Y(u,v)\,}$。

找出一條等式適合${\displaystyle \partial x/\partial u}$是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的導數：

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}$

${\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}$

${\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}$

${\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}$

將${\displaystyle dx}$和${\displaystyle dy}$代入${\displaystyle dF}$和${\displaystyle dG}$，可得出：

${\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}$

${\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}$

因為${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$互不相關，所以${\displaystyle du}$和${\displaystyle dv}$的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}$

現在用克萊姆法則就可得到：

${\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}$

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

${\displaystyle {\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}$

用類似的方法就可以找到${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}$、${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}$以及${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}$。

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺點

克拉瑪公式在電子計算機出現後，被認為是難以實際用於計算的。當使用克拉瑪公式計算一個${\displaystyle n}$階線性方程組時，所需乘法次數為${\displaystyle (n+1)!}$ 次。例如求解25階線性方程組時，總計乘法次數需要${\displaystyle 26!}$（即4.03×10²⁶）次，若計算機每秒能計算100億次，所需時間約12.79億年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，對計算機而言易如反掌。^[1]

參考文獻

1. 張宏偉，金光日，施吉林，董波 (編). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955.

${\displaystyle }$

外部連結

• Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
• Systems Solver