RL電路

RL電路，全稱電阻-電感電路（英語：Resistor-inductor circuit），或稱RL濾波器、RL網絡，是最簡單的無限脈衝響應電子濾波器。它由一個電阻器、一個電感元件串聯或並聯組成，並由電壓源驅動。^[1]

概論

最基本的被動線性元件為電阻器（R）、電容器（C）和電感元件（L）。這些元件可以被用來組成4種不同的電路：RC電路、RL電路、LC電路和RLC電路，這些名稱都緣於各自所使用元件的英語縮寫。它們體現了一些對於模擬電子技術來說很重要的性質。它們都可以被用作被動濾波器。本條目主要講述RL電路串聯、並聯狀態的情況。

在實際應用中通常使用電容器（以及RC電路）而非電感來構成濾波電路。這是因為電容更容易製造，且元件的尺寸普遍更小。

複阻抗

具有電感L（以亨利為單位）的電感元件的複阻抗Z_L（以歐姆為單位）為^[2]：

${\displaystyle Z_{L}\ =\ Ls}$

複頻率s是一個複數，

${\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }$

這裏

• j表示虛數單位:

${\displaystyle j^{2}=-1}$

• ${\displaystyle \sigma \ }$為指數衰減常數（以每秒弧度為單位），且

• ${\displaystyle \omega \ }$為角頻率（以每秒弧度為單位）

示性函數

複數函數示性函數（Eigenfunctions）對所有線性時不變系統（linear time-invariant, LTI）有以下的形式：

${\displaystyle V(t)\ =\ \mathbf {A} e^{st}\ =\ \mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\ }$，若令${\displaystyle \mathbf {A} \ =\ Ae^{j\phi }}$，則可重寫為${\displaystyle \ =\ Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}}$，合併複數指數後得到${\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}$

通過複數的歐拉公式，示性函數的實部為指數衰減的正弦值：

${\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}$

正弦穩定狀態

正弦穩定狀態是當輸入電壓僅包含純的正弦信號的特殊情況，即不存在指數衰減。因此^[3]：

${\displaystyle \sigma \ =\ 0}$

且s的值變為：

${\displaystyle s\ =\ j\omega }$

串聯

RL電路的串聯形式

如果把整個RL電路看做一個按阻抗進行分壓^[2]的系統，則電感元件「分得」的電壓為：

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)}$

電阻器「分得」的電壓為：

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{in}(s)}$.

電流

由於是串聯電路，因此電路處處電流相等，且為：

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+Ls}}}$.

傳遞函數

電感元件的傳遞函數為：

${\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}$

類似的，電阻器的傳遞函數為：

${\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}$

極點和零點

兩個傳輸函數都有一個極點位於：

${\displaystyle s=-{R \over L}}$

另外，電感元件在原點處有一個零點。

增益和相位

通過代入上面的表達式，可以求得兩個組件的增益為：

${\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

且

${\displaystyle G_{R}=|H_{R}(s)|=\left|{\frac {V_{R}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$,

相位為：

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

且

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}$.

相量表示

通常用相量代替上面的式子來表達輸出^[2]：

${\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}$

${\displaystyle V_{R}=G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}}$.

脈衝響應

每一種電壓的衝激響應是對應傳輸函數的反拉普拉斯變換。它代表電路對於包含脈衝或狄拉克δ函數的輸入電壓的響應。

電感元件電壓的響應為：

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

這裏u(t)是單位階躍函數且

${\displaystyle \tau ={L \over R}}$為時間常數。

類似的，電阻器電壓的響應為：

${\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}$

零輸入響應

RL電路的零輸入響應（Zero input response， ZIR）描述了電路在不連接輸入信號源的情況下、達到穩定電壓和電流時的工作狀態。^[4]因為它沒有外接輸入信號，因此得名。

一個RL電路的零輸入響應為：

${\displaystyle i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }\!\ }$.

其中${\displaystyle \tau }$是時間常數。

並聯

RL電路的並聯形式

除非連接到電流源，RL電路的並聯形式很少引起人們的興趣。這主要是因為輸出電壓${\displaystyle V_{out}}$等於輸入電壓${\displaystyle V_{in}}$，這樣，整個電路並未能充當一個電壓信號的濾波器。

複阻抗為：

${\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}$

且

${\displaystyle \,\!I_{L}={\frac {V_{in}}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{in}}{\omega L}}}$.

這表明電感元件在相位上落後電阻器（以及輸入信號）90度。

RL電路的並聯形式經常在放大器電路的輸出級上，使放大器與負載隔離。由於電容器引入的相移，有些放大器在高頻的情況會變得不穩定，容易產生振盪。這會影響電器功能（例如音響的音效品質）和其使用壽命（特別是對電晶體來說），所以應當儘量避免。

參考文獻

1. 童詩白、華成英 主編. 模拟电子技术基础（第四版）. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-04-018922-3.
2. 趙凱華，陳熙謀. 新概念物理教材：电磁学（第二版）. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-020202-1.
3. 李興毅，胡玉安. 正弦交流电压激励下的RL电路瞬态响应的研究. 河南師範大學學報（自然科學版）. 2006, 34 (2).
4. 謝國秋，蔣天. RL电路零输入响应的研究. 昆明大學學報. 2001, 12 (2).

相關條目

• 電子濾波器
• RC電路
• LC電路
• RLC電路