0的0次方

0的0次方（英語：Zero to the power of zero），寫作${\displaystyle 0^{0}}$，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為1^{[註 1]}，在微積分中則通常沒有定義，因為極限${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}}$不存在。而在不同的電腦程式語言中，${\displaystyle 0^{0}}$的表達式也並不相同；如C++將${\displaystyle 0^{0}}$定義為1。

離散指數

許多涉及自然數指數的常用公式中必須將${\displaystyle 0^{0}}$定義為1；例如，下列三個關於${\displaystyle b^{0}}$的解釋使b=0的意義與正整數b相同：

• 將${\displaystyle b^{0}}$解釋為空乘積
• 將${\displaystyle b^{0}}$組合解釋為b元素集合中元素 0 元組的數量；而集合中正好有一個0元組
• 將${\displaystyle b^{0}}$的集合論解釋為從空集合到 b 元素集合的函數數量； 這樣的函數只有一個，就是空函數。

以上三種解釋均得出${\displaystyle b^{0}}$=1。

定義的需求

微分式：${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}}$在x=0，n=1的時候將無法作用，除非${\displaystyle 0^{0}=1}$，另外，如果不定義${\displaystyle 0^{0}}$，就無法處理二項式定理${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$，因為${\displaystyle 0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1}$。

在多項式函數中把常數項視為零次項，可將多項式函數化簡為

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$

則${\displaystyle f(0)=c_{0}0^{0}}$

也必須用到${\displaystyle 0^{0}=1}$

函數z=x^y在(x,y)=(0,0)附近的圖形

註釋

1. 因為a⁰是空乘積，不管數字a是多少，包括0，而空乘積的值為1（空和的值為0）