空積

在數學領域，空積（英語：Empty product）也叫零項積（英語：nullary product），是零個因子相乘的結果。一般假設任何乘法運算中都隱含單位元因子，所以認為空積的值與乘法單位元 1 相等。這和空和（零個數相加的結果）等於加法單位元 0 是類似的。^[1][2][3][4]

零項算術積

假設有數列 a₁, a₂, a₃,... 並且該數列的前 m 項的積為

${\displaystyle P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}}$

如果約定 ${\displaystyle P_{1}=a_{1}}$ 並且 ${\displaystyle P_{0}=1}$，那麼所有 m = 1,2,... 都滿足：

${\displaystyle P_{m}=a_{m}\cdot P_{m-1}}$

換句話說，${\displaystyle P_{1}}$ 是一個因子的「積」，取值就是它本身；而 ${\displaystyle P_{0}}$ 則是零個因子的「積」，取值是 1。允許求一個因子、零個因子的積，可以簡化很多數學公式，減少針對類似的特殊情況的處理。這樣的「積」是很多歸納證明以及算法的自然起點。因此，「空積是一」的約定在數學和程序設計中非常常見。

另見

• 迭代二項運算（英語：Iterated binary operation）
• 空和

參考資料

1. Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press. 1998: 12. ISBN 0-19-850207-9.
2. A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 1. ISBN 0-521-39789-8.
3. Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 9, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556
4. David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry. 1979: 45. ISBN 0521293243.