在微積分和數學分析的其他分支中,不定式(英語:Indeterminate form),又稱未定式,是指這樣一類極限,其在按極限的運算規則進行代入後,還未能得到足夠資訊去確定極限值。 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2020年5月3日) 此條目目前正依照en:Indeterminate form上的內容進行翻譯。 (2017年12月23日) 這個術語最初由柯西的學生穆瓦尼奧(法語:Abbé Moigno)在19世紀中葉提出。常見的不定式有: 0 0 , ∞ ∞ , 0 × ∞ , 1 ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 和 ∞ 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}} 。 處理計算未定式的值常見的方法為使用洛必達法則。 Remove ads例子 0除以0 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 是不定式,通常被認為沒有定義。 0的0次方 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 也是不定式。在不同軟件中,有不同的處理規則,有些定義為1或0,有些視為「沒有定義」。 在數學上,當 x {\displaystyle x} 趨向 0 + {\displaystyle 0^{+}} , x x {\displaystyle x^{x}} 的極限是1。 lim x → 0 + 0 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad } lim x → 0 + x 0 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad } lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad } 在冪級數和微積分中,有時候必須定義 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ,等式才會成立。 在二項式定理中,當 x = 0 {\displaystyle x=0} ,右式會出現 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。 ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}} 微分學的冪法則(英語:Power rule),在 n = 1 {\displaystyle n=1} 及 x = 0 {\displaystyle x=0} 的情況下,也會出現 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。 d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} Remove ads物理 在物理學上這是有一定的解釋。比如說電阻定義 (歐姆定律) R = U I {\displaystyle R={\frac {U}{I}}} ,當電壓和電流都為 0 {\displaystyle 0} 時 R {\displaystyle R} 的值存在不確定性。 例如,極限 lim x → c f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}} 當 f ( c ) = g ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=g(c)=0\,} 。若 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 等於 g ( x ) {\displaystyle g(x)\,} ,極限為1;若 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 等於 g ( x ) {\displaystyle g(x)\,} 的兩倍,則極限為2。 更一般地, 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 的極限可以通過洛必達法則求得。 Remove ads不定式列表 下表中列出了最常見的不定式,可以通過轉換來使得它們滿足洛必達法則的條件。 更多資訊 , ... 不定式 條件 轉換到0/0 轉換到∞/∞ 0 / 0 {\displaystyle 0/0} lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} — lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ / ∞ {\displaystyle \infty /\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} — 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → c 1 / g ( x ) − 1 / f ( x ) 1 / ( f ( x ) g ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = ln lim x → c e f ( x ) e g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} lim x → c f ( x ) = 0 + , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} 1 ∞ {\displaystyle 1^{\infty }} lim x → c f ( x ) = 1 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} ∞ 0 {\displaystyle \infty ^{0}} lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} 關閉 Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. 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