廣群

此條目介紹的是範疇論中的廣群。關於具有單一二元運算的代數結構，請見「原群」。

在數學中，尤其在範疇論和同倫論中，廣群（groupoid，或勃蘭特廣群，Brandt groupoid）是對群的概念的抽象化。廣群可被視為：

• 以偏函數取代二元運算的群；
• 所有態射都可逆的範疇。這一類範疇可被視作增加了一種一元運算，與群論中的逆元相對應。^[1] 只有一個對象的廣群一般是群。

在存在依賴類型的情況下，一般來說，一個範疇可視作是類型化的么半群；廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族，於是態射可以是類型化的${\displaystyle g:A\rightarrow B}$、${\displaystyle h:B\rightarrow C}$。於是組合是全函數：${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$，於是${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$。

廣群的特例包括：

• 集合體（Setoid），即帶有等價關係的集合；
• G-集合，即帶有G 的作用的集合。

廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特於1927年引入，其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。^[2]

定義

廣群指的是代數結構${\displaystyle (G,\ast )}$，包含非空集G與定義在G上的二元偏函數'${\displaystyle \ast }$'。

代數定義

廣群是具備一元運算${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$與偏函數${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$的集合G，當中的*不是二元運算，因為其不一定定義在G中所有的元素對上。這裏不闡述定義*的確切條件，這些條件因情況而異。

運算*、⁻¹有以下公理性質：${\displaystyle \forall a,\ b,\ c\in G}$：

1. 結合律：若定義了${\displaystyle a*b,\ b*c}$，則${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$。
2. 逆元：${\displaystyle a^{-1}*a}$、${\displaystyle a*{a^{-1}}}$總有定義。
3. 單位元：若定義了${\displaystyle a*b}$，則${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}*a*b=b}$。（由前兩條性質可推知。）

從中可得到兩個簡單方便的性質：

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$；
• 若定義了${\displaystyle a*b}$，則${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$。^[3]

範疇論定義

廣群是小範疇，其中每個態射都可逆，即是同構。^[1]更明確地說，廣群G是對象集合${\displaystyle G_{0}}$，其中

• 每對對象x、y，都有從x到y的態射（或箭頭）的（可能是空）集合${\displaystyle G(x,\ y)}$，其中的元素寫作${\displaystyle f:\ x\to y;}$
• 每個對象x，${\displaystyle G(x,\ x)}$的指定元素${\displaystyle \mathrm {id} _{x};}$
• 對任意三個元素x、y、z都有函數${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;}$
• 對任意兩個元素x、y都有函數${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$、${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f;}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf);}$
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$、${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.}$

若${\displaystyle f\in G(x,\ y)}$則稱x為f的源，記作${\displaystyle s(f)}$；y稱作f的目標，記作${\displaystyle t(f)}$。廣群G有時記作${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$，當中${\displaystyle G_{1}}$是所有態射的集合，兩個箭頭${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$代表源和目標。

更一般地，可以考慮任意範疇中的廣群對象，其允許有限的纖維積。

定義比較

代數定義與範疇論定義等價，下面證明。給定範疇論定義廣群，令G為所有集合${\displaystyle G(x,\ y)}$的不交並（即x到y的態射的集合）；則${\displaystyle \mathrm {comp} }$、${\displaystyle \mathrm {inv} }$就成了G上的偏運算，而${\displaystyle \mathrm {inv} }$事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為${\displaystyle \mathrm {comp} }$、⁻¹為${\displaystyle \mathrm {inv} }$，這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及${\displaystyle G_{0}}$（及${\displaystyle \mathrm {id} }$）。

反過來，給定代數定義的廣群G，用${\displaystyle \sim }$定義其元素上的等價關係： ${\displaystyle a\sim b}$，若${\displaystyle a*a^{-1}=b*b^{-1}.}$令G₀為${\displaystyle \sim }$的等價類集合，即${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$。若${\displaystyle a\in G}$且${\displaystyle x\in G_{0}}$，用${\displaystyle 1_{x}}$記a ∗ a⁻¹。

現在定義${\displaystyle G(x,y)}$為所有使${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$存在的f的集合。給定${\displaystyle f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),}$其組合定義為${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z).}$這是良定義的，因為可觀察到${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$、${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$都存在，${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$也存在。這樣，x的恆等態射就是${\displaystyle 1_{x}}$，f的範疇論逆是f⁻¹。

上述定義中的集合可用類代替，這在範疇論中很常見。

頂點群與軌道

給定廣群G，其中的頂點群或迷向群或軌道群是${\displaystyle G(x,\ x)(x\in G)}$的子群。從上述公理不難看出，它們確實是群，因為每對元素都可組合，且逆元都在同一個群中。

廣群G在點${\displaystyle x\in X}$處的軌道由集合${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$給出，當中包含了可用G中的態射連接到x的每個點。若x、y兩點在相同的軌道上，則它們的頂點群G(x)、G(y)群同構：若${\displaystyle f:\ x\to y}$，則同構由${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$給出。

軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道（等價地是連通的），則稱之為傳遞的。那麼，所有頂點群都同構（另一方面，這不是傳遞性的充分條件，反例下詳）。

子廣群與態射

${\displaystyle G\rightrightarrows X}$的子廣群是子範疇${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$，其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇，即${\displaystyle \forall x,y\in Y}$都有${\displaystyle X=Y}$或${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$，則也稱其為寬或滿。

廣群映射簡單說就是兩個（範疇論）廣群間的函子。

有幾種特殊的廣群態射值得關注。若${\displaystyle \forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,}$都有${\displaystyle e\in E:\ x\to }$，使得${\displaystyle p(e)=b}$，則廣群的態射${\displaystyle p:E\to B}$稱作纖維化。若這樣的e是唯一的，則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用，可用來模擬空間的覆蓋映射。^[4] 同樣，給點廣群B的覆蓋態射範疇，等同於廣群B對對集合的作用範疇。

例子

拓撲

主條目：基本廣群

給定拓撲空間X，令${\displaystyle G_{0}}$為集合X。從點p到點q的態射是p到q的連續路徑的等價類，若兩條路徑同倫，就稱它們等價。 先沿第一條路徑，再沿第二條路徑，兩個這樣的態射便組合到一起；同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作X的基本廣群，記作${\displaystyle \pi _{1}(X)}$（有時是${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$）。^[5]通常的基本群${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$於是就是點x的頂點群。

基本廣群${\displaystyle \pi _{1}(X)}$的軌道是X的路徑連通成分。相應地，路徑連通空間的基本廣群是傳遞的，我們恢復了已知的事實，即任意基點上的基本群是同構的。此外，基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的（一般理論見下文）。

這一思想的重要推廣是考慮基本廣群${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$，其中${\displaystyle A\subset X}$是選定的基點集合。當中${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$是${\displaystyle \pi _{1}(X)}$的（寬）子廣群，這裏只考慮端點屬於A的路徑。集合A可據當前情況的幾何形狀來選擇。

等價關係

若X是集合體，即具有等價關係${\displaystyle \sim }$的集合，則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成：

• 廣群對象是X的元素；
• ${\displaystyle \forall x,\ y\in X,}$有單態射${\displaystyle (y,x):\ x\to y}$，若且唯若${\displaystyle x\sim y}$；
• ${\displaystyle (z,y)}$與${\displaystyle (y,x)}$的組合是${\displaystyle (z,x)}$。

這個廣群的頂點群總是平凡的；此外，這個廣群一般不傳遞，其軌道正是等價類。有兩個極端例子：

• X每個元素若都與X的其他元素有聯繫，則就得到了X的對廣群，其以整個${\displaystyle X\times X}$作為箭頭集，且是傳遞的。
• X每個元素若只與自身有關係，就得到了單位廣群，其以X為箭頭集，${\displaystyle s=t=id_{X}}$，是完全不傳遞的（每個單子${\displaystyle \{x\}}$都是軌道）。

例子

• 若${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$是光滑流形的光滑滿射浸沒，則${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$是等價關係^[6]，因為在拓撲空間的滿射下，Y與${\displaystyle X_{0}}$的商拓撲拓撲同構。若記${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$則可得廣群

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群。
• 若放寬自反性要求、考慮偏等價關係，則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似，稱作PER模型。作為一個範疇，PER模型是具有自然數對象與子對象分類子的笛卡兒閉範疇，從而產生了馬丁·海蘭德所謂有效拓撲斯。

切赫廣群

參見：單純流形和神經復形

切赫廣群^[6]:5是一類特殊的廣群，與某個流形X的開覆蓋${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$

給出，其箭頭是相交

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$.

源映射與目標映射由誘導映射給出

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

包含映射

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

則給出了廣群的結構。實際上，還可設置

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

為n次迭代的纖維積來進一步擴展，其中${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射，因為

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

是笛卡兒圖，其中到${\displaystyle U_{i}}$的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型；此外，這種構造的另一個產物是k-上循環

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

對某個阿貝爾群之常數層可表為函數

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

給出了上同調類的明確表示。

群作用

若群G作用於集合X，則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群：

• 對象是X的元素；
• ${\displaystyle \forall x,\ y\in X}$，態射${\displaystyle x\to y}$對應${\displaystyle g\in G}$，使得${\displaystyle gx=y}$；
• 態射的複合解釋了G的二元運算。

更明確地說，作用廣群是小範疇${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$、${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$，源映射和目標映射分別為${\displaystyle s(g,x)=x}$、${\displaystyle t(g,x)=gx}$。通常表示為${\displaystyle G\ltimes X}$（對於右作用記為${\displaystyle X\rtimes G}$）。廣群中的乘法（或組合）就是${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$，定義條件是${\displaystyle y=gx}$。

${\displaystyle \forall x\in X}$，頂點群由${\displaystyle gx=x}$的${\displaystyle (g,x)}$組成，這只是給定作用在x處的迷向子群（這就是頂點群稱為迷向子群的原因）。同樣，作用廣群的軌道是群作用的軌道，廣群是傳遞的若且唯若群作用也有傳遞性。

另一種描述G集合的方法是函子範疇${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$，當中${\displaystyle \mathrm {Gr} }$是1個元素的廣群（範疇），同構於群G。事實上，這個範疇的每個函子F都定義了集合${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G}$（即對${\displaystyle \mathrm {Gr} }$中的每個態射）誘導了雙射${\displaystyle F_{g}}$：${\displaystyle X\to X}$。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$是G的凱萊表示。事實上，這個函子與${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$同構，因此將${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$送到集合${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$，後者的定義就是「集合」G和${\displaystyle \mathrm {Gr} }$的態射g（即G的元素g）到集合G的置換${\displaystyle F_{g}}$。由米田嵌入推導出：群G同構於G的置換群的子群${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$。

有限集

考慮${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$在有限集${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$上的群作用，其將每個數取負，於是${\displaystyle -2\mapsto 2}$、${\displaystyle 1\mapsto -1}$。商廣群${\displaystyle [X/G]}$是這個群作用的等價類集合${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$，${\displaystyle [0]}$在其上有群作用${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$。

商簇

任何映射到${\displaystyle GL(n)}$的有限群G都會在仿射空間${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$上產生群作用（由於這是自同構群）。於是，商廣群的形式可以是${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$，有一點的穩定子G位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$及其子空間，如卡拉比-丘軌形。

廣群的纖維積

給定具有廣群態射的廣群圖

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle f:X\to Z}$、${\displaystyle g:Y\to Z}$，可組成廣群${\displaystyle X\times _{Z}Y}$，其對象為三元組${\displaystyle (x,\phi ,y)}$，其中${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z}$。態射可定義為一對態射${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$，其中${\displaystyle \alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'}$，使得對三元組${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z}$中有${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '}$的交換圖。^[7]

同調代數

具體阿貝爾範疇中對象的二項復形

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

可形成廣群。其對象是集合${\displaystyle C_{0}}$，箭頭是集合${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$；源映射只是到${\displaystyle C_{0}}$的映射，目標映射是對${\displaystyle C_{1}}$與d的組合跟到${\displaystyle C_{0}}$的映射的加法。也就是說，給定${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$，有

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

當然，若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇，則這種構造可用於形成廣群的預層。

遊戲

魔方可用群論來建模（見魔方群），也有些遊戲更適合用廣群建模。^[8]

數字推盤遊戲的變換就是廣群（不是群，因為並非所有移動都能複合）。^[9][10][11]這一廣群作用作用於構型。

馬蒂厄廣群

馬蒂厄廣群是約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群，這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M₁₂的一個副本。

與群的關係

類似群的結構
	完全性	結合律	單位元	除法
群	是	是	是	是
么半群	是	是	是	否
半群	是	是	否	否
環群	是	否	是	是
擬群	是	否	否	是
原群	是	否	否	否
廣群	否	是	是	是
範疇	否	是	是	否

若廣群只有一個對象，則其態射集構成群。由代數定義，這樣的廣群實際上就是群。 ^[12]群論的許多概念都能推廣到廣群，用函子概念取代群同態。

每個傳遞/連通的廣群（即如上所述，任意兩對象都由至少一個態射相連）都與作用廣群（如上定義）${\displaystyle (G,X)}$同構。根據傳遞性，這個作用下只有一個軌道。

注意剛才提到的同構不唯一，也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象${\displaystyle x_{0}}$、群同構${\displaystyle h:\ G(x_{0})\to G}$、${\displaystyle \forall x\neq x_{0},\ }$態射${\displaystyle \in G:\ x_{0}\to x}$。

若廣群沒有傳遞性，則就同構於上述類型的廣群的不交並，也稱作其連通成分（每個連通成分可能具有不同的群G與集合X）。

用範疇論的術語來說，廣群的每個連通成分都等價（但不同構）於只有1個對象的廣群，即單群。因此，任何廣群都等價於無關群的多重集；換句話說，對等價（而非同構），我們不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，

• X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合，但同構要指定每個成分的點集；
• 具有等價關係${\displaystyle \sim }$的集合X等價（作為廣群）於每個等價類的平凡群的一個副本，但同構需要說明每個等價類；
• 具備群G的作用的集合X等價（作為廣群）於作用的每個軌道的G的一個副本，但同構需要說明每個軌道是什麼集合。

即使從範疇論的角度來看，把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息，因為是不自然的。因此，當廣群以其他結構出現時，保持整個廣群是有幫助的；否則就必須選擇一種方法，以從單群的角度看待每個${\displaystyle G(x)}$，而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中，必須連貫地選擇路徑（或路徑的等價類），從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。

一個更有啟發性的例子是，有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。

廣群的態射比群的更多樣：例如，有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此，群G的子群H會產生『』G對G中H的陪集集的作用，從而產生K到G的覆蓋態射p，其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣，群G的表示就可以「提升」到廣群K的表示，這是獲取子群H的表現信息的有用方法。

廣群範疇

對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇，記作Grpd。

Grpd與小範疇相似，是笛卡兒閉範疇：對任意廣群${\displaystyle H,K}$，我們都可以構造廣群${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$，其對象是態射${\displaystyle H\to K}$、箭頭是態射的自然等價。於是，若${\displaystyle H,K}$只是群，則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是，對任何廣群${\displaystyle G,H,K}$都有自然雙射

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

即使所有廣群${\displaystyle G,H,K}$都只是群，這個結果也有意義。

Grpd既是完全範疇，又是余完全範疇。

與Cat的關係

包含態射${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$有左右伴隨函子：

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

當中，${\displaystyle C[C^{-1}]}$表示反轉每個態射的範疇局部化，${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$表示所有同構的子範疇。

與sSet的關係

神經函子${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$將Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。

神經有左伴隨

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

當中${\displaystyle \pi _{1}(X)}$表示單純集X的基本廣群。

Grpd中的廣群

主條目：雙重廣群

廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構，即雙重廣群。^[13][14]因為Grpd是2範疇，這些對象構成了2範疇，比1範疇有額外的結構。本質上說，這些對象是具有函子

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

的廣群${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$，以及由恆等函子

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如，給定方塊

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$與${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

其中${\displaystyle a}$是同一個態射，則可以垂直相連，得到圖

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

可將垂直箭頭轉置，得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。

具有幾何結構的廣群

研究幾何對象時，產生的廣群通常帶有拓撲，使其成為拓撲廣群；一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究，這與李群和李代數之間的關係類似。

從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如，泊松幾何中有辛廣群的概念，後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣，也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。

另見

• ∞-廣群
• 2-群
• 同倫類型論

腳註

1. Dicks & Ventura. The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group. 1996: 6.
2. Hazewinkel, Michiel (編), Brandt semi-group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
3. 第一個性質的證明：由公理2、3，可知${\displaystyle a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.}$將1式代入2式，再應用公理3：${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.}$得證。 第二個性質的證明：由於定義了${\displaystyle a*b}$，於是是${\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b.}$因此也定義了${\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a}$。進一步地，由於定義了${\displaystyle a*b}$，有${\displaystyle a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}}$也定義了。由公理3可知${\displaystyle (a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.}$得證。
4. J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (see chapter 2)
5. fundamental groupoid in nLab. ncatlab.org. [2017-09-17]. （原始內容存檔於2023-04-06）.
6. Block, Jonathan; Daenzer, Calder. Mukai duality for gerbes with connection. 2009-01-09. arXiv:0803.1529  [math.QA].
7. Localization and Gromov-Witten Invariants (PDF): 9. （原始內容存檔 (PDF)於2020-02-12）.
8. An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）; Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.
9. Jim Belk (2008) Puzzles, Groups, and Groupoids （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Everything Seminar
10. The 15-puzzle groupoid (1) 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2015-12-25., Never Ending Books
11. The 15-puzzle groupoid (2) 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2015-12-25., Never Ending Books
12. Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see delooping in nLab. ncatlab.org. [2017-10-31]. （原始內容存檔於2023-04-05）..
13. Cegarra, Antonio M.; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué. Double groupoids and homotopy 2-types. 2010-03-19. arXiv:1003.3820  [math.AT].
14. Ehresmann, Charles. Catégories et structures : extraits. Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle. 1964, 6: 1–31 [2023-11-29]. （原始內容存檔於2023-06-04） （英語）.

參考文獻

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• Brown, Ronald, 1987, "From groups to groupoids: a brief survey （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）," Bull. London Math. Soc. 19: 113–34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.
• —, 2006. Topology and groupoids. Booksurge. Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. Groupoids are introduced in the context of their topological application.
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• nLab的fundamental groupoid條目
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