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在數學的一個抽象分支範疇論中,範疇的等價(equivalence of categories)是兩個範疇間的一個關係,在這種關係之下的範疇是「本質上一樣的」。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。建立一個等價涉及展示所考慮的數學結構間很強的相似性。在許多情形,這些結構表面或直覺上看並無關聯,這樣就使這種概念特別有用:它提供了在不同數學結構之間翻譯的可能性,本質一語是指在翻譯中保持的定理。
如果一個範疇等價於另一個範疇的反範疇,則我們說「範疇的對偶性」,以及這兩個範疇對偶等價。
範疇的等價由所涉範疇的一個函子組成,這個函子要求有一個「逆」函子。但與通常代數語境的同構不同,這個函子與它的逆不必是恆等映射,二隻要每個物件自然同構與在此複合函子下的像。從而我們可以說這個函子是差一個同構下的逆。這實際上是範疇的同構的概念,其中要求逆函子的嚴格性質,但這比「等價」概念用得要少。
正式定義為,給定兩個範疇 C 與 D,一個範疇等價包括函子 F : C → D,函子 G : D → C,以及兩個自然同構 ε: FG→ID 與 η : IC→GF。這裏 FG: D→D 與 GF: C→C 分別為 F 與 G 的複合,而 IC: C→C 與 ID: D→D 分別為 C 與 D 的恆同函子。如果 F 與 G 是反變函子我們則說範疇的對偶。
通常我們不指出如上所有數據。例如,我們說範疇 C 與 D 是等價的(對偶等價)如果它們之間存在一個等價(對偶等價)。進一步,我們說 F 是一個範疇的等價如果如上逆函子 G 以及自然同構存在。但要注意 F 所具有的資訊不足以構造 G 以及自然同構:存在許多不同的選擇(見下面的例子)。
可以證明函子 F: C → D 給出範疇的等價當且僅當它是:
這是一個相當有效和常用的判別法,因為不必真正構造出逆 G 以及 FG,G' 與恆同函子之間的自然同構。另一方面,儘管上面性質保證了範疇等價的存在性(假定背景集合論具有一個足夠強的選擇公理),缺少的數據沒有完全確定,通常有許多選擇。只要可能,給出缺少的構造是個好主意。正因為如此,具有這些性質的函子有時叫做範疇的弱等價(不幸地是這個術語與同倫論衝突)。
它與伴隨函子概念也有緊密聯繫。如下論斷對函子 F : C → D 與 G : D → C 等價:
從而我們可以將兩個函子之間的伴隨關係視為「非常弱的等價」。假設伴隨的自然變化已經給定,所有這些確保了一個明確的構造,且不需要選擇原理。關鍵性質是需要證明伴隨的余單位是同構當且僅當右伴隨是完全且忠實的函子。
大概說來,一個範疇等價保持所有範疇性概念與性質。如果 F : C → D 是一個等價,則如下論斷都成立:
對偶性將所有概念對換過來:它們將始物件變成終物件,單態射變成滿態射,核變成餘核,極限變成餘極限,等等。
如果 F : C → D 是一個範疇等價,而 G1 與 G2 是兩個逆,則 G1 與 G2 是自然同構的。
如果 F : C → D 是一個範疇等價,若 C 是一個預可加範疇(或可加範疇,或阿貝爾範疇),則 D 可以變成預可加範疇(或可加範疇,或阿貝爾範疇)並使 F 成為可加函子。另一方面,可加範疇之間的任何等價必然可加。(注意後一個論斷對預可加範疇的等價不成立。)
一個範疇 C 的自等價是一個等價 F : C → C。如果我們將兩個自然同構的自等價視為一樣的,則 C 的自等價在複合下構成一個群。這個群抓住了 C 的本質對稱。(注意:如果 C 不是小範疇,則 C 的自同構可能是一個真類而不是集合。)
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