虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位將實數系統${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至複數系統${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要動機為有很多實系數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為${\displaystyle i}$，在電機工程和相關領域中則標記為${\displaystyle j}$，這是為了避免與電流（記為${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）混淆。

虛數單位${\displaystyle i}$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

定義

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虛數單位${\displaystyle i}$定義為二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號${\displaystyle i}$。很重要的一點是，${\displaystyle i}$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等於1。

但請注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的條件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設${\displaystyle i}$是一個未知數，然後依照${\displaystyle i}$的定義，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出現為-1。${\displaystyle i}$的更高整數冪數也可以替代為${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根據下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的餘數。

i和-i

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解${\displaystyle i}$，那麼${\displaystyle -i}$（不等於${\displaystyle i}$）也是一個解，由於這個方程是${\displaystyle i}$的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為${\displaystyle i}$，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

正當的使用

虛數單位有時記為${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$僅對於非負的實數${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正確）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正確）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正確）

i的運算

虛數單位${\displaystyle i}$的平方根在複平面的位置

許多實數的運算都可以推廣到${\displaystyle i}$，例如平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除第一項外，均為與${\displaystyle i}$有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

• ${\displaystyle i}$的平方根為：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

這是因為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$

使用主平方根符號表示：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法為先假設兩實數${\displaystyle x}$及${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，求解${\displaystyle x,y}$^[1]

• 一個數的${\displaystyle ni}$次冪為：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}$

一個數的${\displaystyle ni}$次方根為：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}$

利用歐拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的${\displaystyle k}$值，可計算出無限多的解。當${\displaystyle k=0}$最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$為底的對數為：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}$

• ${\displaystyle i}$的餘弦是一個實數：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }$1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$的正弦是純虛數：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$1.1752011936438...${\displaystyle i}$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
• 一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變量類型為 complex64和complex128^[3]。

註解

1. University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） URL retrieved March 26, 2007.
2. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
3. Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始內容存檔於2022-06-28）.

參見

• 代數基本定理
• 虛數
• 複數平面
• 單位根
• i

參考文獻

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結

• 歐拉對多項式的複數根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}
• ${\displaystyle i^{7321}}$的計算方法舉例（英文視頻）