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萊恩-埃姆登方程(Lane–Emden equation)是天文物理中一個表現自重力位能,球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 時的壓力與密度,方程式中並有重構徑向變數 和重構溫度變數 :
此條目需要補充更多來源。 (2014年10月25日) |
當
以及
下標 c 代表核心的壓力與密度。是多方指數;多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。
是代表壓力, 則是密度,而 則是比例常數。標準的邊界條件則是 和 。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係,並且給定的多方指數 也是多方球的多方指數 。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關;泊松方程與位能、密度有關。
在物理學上,流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關,而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映,就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題,尤其是該陳述特別簡潔並推導出了萊恩-埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似,但它的假設通常是受到限制。
考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況,就可使用以下連續性方程式:
這裡 是 的函數。流體靜力平衡的公式成為:
也是 的公式。再一次求導數可得:
這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 ,並將帶有 的導數的項置於左側,方程式成為:
方程式兩側除以 ,在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外,如果我們以多變方程 和 代入,可得到:
將常數聚集並以 取代:
最後得到萊恩-埃姆登方程:
同樣地,也可以使用泊松方程進行推導:
我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度:
最後也可以得到萊恩-埃姆登方程。
只在3個值時有解析解
如果 ,方程式成為:
重新整理並進行一次積分後的公式成為:
公式兩側都除以 ,並且再積分一次後得到:
邊界條件 和 暗示積分常數是 和 。
當 ,方程式可展開如下:
兩端都乘以 可得到 和 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是:
在經過一連串取代的步驟後,方程式可以有進一步的解:
當 ,方程式的解將是循著徑向的無限大值。
一般情形下萊恩-埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示,例如:
在這裡 被視為無因次質量,而質量可使用 表示。相關的邊界條件是 和 。第一個方程式表現了流體靜力平衡,而第二個方程式則表示質量守恆。
已知如果 是萊恩-埃姆登方程的解,那麼完整的解方程式將是 [1]。和這方式相關的解則稱為「同調」,而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性,就可以將萊恩-埃姆登方程降一階計算。
而這類可選擇的變數有多個,一個適當的選擇是:
和
我們可以將相對於 的變數的對數微分,得到:
和
最後,我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 ,留下:
以上即為單一一階方程式。
同調性不變的方程式可被視為自主對方程式:
和
這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點(當 )和雅可比矩陣的特徵值、特徵向量如下表所示[2]:
臨界點 | 特徵值 | 特徵向量 | ||
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