冪數

冪數^[1]（英語：powerful number）也稱為冪次數，是指一正整數${\displaystyle n}$，其所有質因數的平方亦是${\displaystyle n}$的因數，換言之，若存在一質因數${\displaystyle p}$，則${\displaystyle p^{2}}$也是${\displaystyle n}$的因數。

冪數可表示為一個平方數及立方數的乘積，若${\displaystyle a}$及${\displaystyle b}$為正整數（包括1在內），${\displaystyle a^{2}b^{3}}$即為冪數。而平方數及立方數本身（及整數的更高次方）也是冪數。

保羅·艾狄胥及喬治·塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究，而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」，「powerful」應該是指數字由許多冪所組成，但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表：

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 （OEIS數列A001694）。

數學性質

冪數的質因數分解中，各質因數指數均大於1。

冪數的倒數和收斂，其值為：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)}$

其中

p為所有的質數

${\displaystyle \zeta (s)}$為黎曼ζ函數

${\displaystyle \zeta (3)}$為阿培里常數^[2]。

若用k(x)來表示當1≤n≤x時，冪數n的個數，則k滿足以下的不等式

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }$^[2]

。

佩爾方程x²-8y²=1有無限多個正整數解，因此存在無限多組連續的冪數（若x、y為正整數解，則x²及8y²即為二個連續的冪數），其中最小的是8和9^[2]。而8和9恰好也是唯一一組連續的次方數（卡塔蘭猜想，後來已被數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明）。

冪數的和與差

每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差：(k + 1)² = k² + 2k +1²，因此 (k + 1)² - k² = 2k + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數，其平方的差：(k + 2)² - k² = 4k + 4。以上數字均可表示為二平方數的差，因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的偶數（即奇偶數（英語：Singly even number））無法表示為二個平方數的差，但不確定是否可表示為二個冪數的差，然而Golomb發現以下的等式

2=3³-5²

10=13³-3⁷

18=19²-7³=3²(3³-5²)

以上的等式未包括6，Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差，不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差：

6=5⁴7³-463²

而且可以找到無限多組的冪數，二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法^[3]。

保羅·艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和，後來由羅傑·希斯-布朗證實了保羅·艾狄胥的猜想^[4]。

一般化

冪數的質因數分解中，所有的指數均不小於2。以此概念再延伸，若一整數的質因數分解中，所有的指數均不小於k，可稱為k-冪數。

(2^k+1}-1)^k, 2^k(2^k+1-1)^k, (2^k+1-1)^k+1

是由k-冪數所組成的等差數列，若a₁, a₂, ..., a_s是由k-冪數所形成的等差數列，公差為d，則

a₁(a_s+d)^k, a₂(a_s+d)^k, ..., a_s(a_s+d)^k, (a_s+d)^k+1

則是由s+1個項k-冪數所組成的等差數列。

以下是一個有關k-冪數的恆等式：

a^k(aⁿ+...+1)^k+a^k+1(aⁿ+...+1)^k+...+a^k+n(aⁿ+...+1)^k=a^k(aⁿ+...+1)^k+1

因此可以找到無窮多組的k-冪數，其個數為n+1個，而這些k-冪數的和也是k-冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數x、y、z，滿足x+y=z的形式^[5]。Cohn找到一個可產生無窮多組互質，且非立方數的3-冪數x、y、z，可滿足x+y=z的方法：以下的數組

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程式32X³ + 49Y³ = 81Z³的解（因此32X³、49Y³及81Z³即為上述的3-冪數數組）。令X′=X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³)，再除以其最大公因數即為一組新的解。

関連項目

• 阿喀琉斯數
• 次方數

註解

1. 詞都 幂数. [2012-02-05]. （原始內容存檔於2019-05-19）.
2. S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.
3. Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.
4. D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171. Brown, 1987)
5. *A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.

延伸閱讀

• J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439--440. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95--102.
• Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
• D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.

外部連結

• Powerful number in mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）