除子

除子是代數幾何中的一個重要概念。在黎曼曲面${\displaystyle X}$上，它可以簡單的定義為${\displaystyle X}$上的點的（整係數）形式線性組合，${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$。更一般地說，對於代數閉體上的非奇異代數簇，它可以定義為餘維度為一的子簇的（整係數）形式線性組合，也可以定義為層${\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}}$的一個整體截面。在滿足一定條件的（可以是奇異的）代數簇上，這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面上的除子

在黎曼曲面${\displaystyle X}$上，它可以簡單的定義為${\displaystyle X}$上的點的（整係數）形式線性組合，${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$，其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$上的點。型如${\displaystyle p}$的除子被稱為素除子。一般的除子都是素除子的線性組合。${\displaystyle X}$上的全部除子構成一個交換群，記作${\displaystyle {\text{Div}}(X)}$。

對於${\displaystyle X}$上的非零亞純函數${\displaystyle f}$，我們可以定義${\displaystyle f}$的除子

${\displaystyle {\text{div}}(f)=\sum _{p}^{}v_{p}(f)p}$，

其中${\displaystyle v_{p}(f)}$是${\displaystyle f}$在${\displaystyle p}$點零點的階（非零點的階為零，極點的階按負值計）。型如${\displaystyle {\text{div}}f}$的除子叫做主除子。主除子構成的子群記作${\displaystyle {\text{Prin(X)}}}$。除子類群定義作${\displaystyle {\text{Cl}}(X)={\text{Div}}(X)/{\text{Prin(X)}}}$。對於緊黎曼面，這是一個有限生成的交換群，它是緊黎曼面${\displaystyle X}$的一個重要不變量。

從層論的觀點看，除子是一個局部的概念，對於${\displaystyle X}$上任意的除子${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$，和${\displaystyle X}$的開集${\displaystyle U}$，可以定義${\displaystyle D}$在${\displaystyle U}$上的限制${\displaystyle D|_{U}=\sum _{p\in U}^{}n_{p}p}$。函子${\displaystyle U\mapsto {\text{Div}}(U)}$是${\displaystyle X}$上的層。

給定${\displaystyle X}$上任何一個除子${\displaystyle D}$，局部上${\displaystyle D}$都可以被寫作一個函數對應的主除子。精確地說，一定存在${\displaystyle X}$的一組開覆蓋{${\displaystyle U_{i}}$}以及每個${\displaystyle U_{i}}$上的函數${\displaystyle f_{i}}$，使得${\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})}$。一般說來，在${\displaystyle U_{i}}$和${\displaystyle U_{j}}$的交集上，${\displaystyle f_{i}}$和${\displaystyle f_{j}}$的限制未必相等，但易見在${\displaystyle U_{ij}}$上，存在一個處處非零的全純函數${\displaystyle h}$，使得${\displaystyle f_{i}h=f_{j}}$。另外，${\displaystyle f_{i}}$的選取不是唯一的，因為我們總可以用一個處處非零的全純函數${\displaystyle h}$來修正它。反過來，任意一組這樣的數據${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$，都給出了${\displaystyle X}$上的一個除子。

以上論證表明，黎曼曲面上的任意一個除子${\displaystyle D}$，都唯一地對應於層${\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}}$的一個整體截面。這是Cartier對於除子的觀點。

從Cartier的觀點出發，不難構造除子${\displaystyle D}$所對應的可逆層${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$：取${\displaystyle X}$的一組開覆蓋{${\displaystyle U_{i}}$}，以及每個${\displaystyle U_{i}}$上的函數${\displaystyle f_{i}}$，使得${\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})}$。取${\displaystyle U_{i}}$上的平凡層${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}}$，在交集${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}}$上，如前所述${\displaystyle {\dfrac {f_{j}}{f_{i}}}}$是${\displaystyle U_{ij}}$上的一個可逆函數，從而它定義了${\displaystyle U_{ij}}$上平凡層的一個自同構。把這一同構視作粘合映射${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}|_{U_{ij}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{j}}|_{U_{ij}}}$，不難驗證這一族粘合映射滿足cocycle條件，從而他們給出了${\displaystyle X}$上的一個可逆層。

反過來，對於黎曼曲面，每個可逆層都來自於一個除子。事實上，若${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是可逆層，令${\displaystyle D}$為任意一個亞純截面的除子，則${\displaystyle {\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$。

易見主除子對應的可逆層同構於平凡層。兩個除子之和對應的可逆層是原來兩個除子對應之可逆層的張量積。若兩個除子之差為一主除子，則他們定義的線叢是同構的。

從線叢的觀點看，若兩個除子之差為一主除子，我們可以把它們視作等價。上面定義的映射${\displaystyle [D]\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$給出了它與${\displaystyle {\text{Pic}}(X)}$的一個同構。這裡${\displaystyle {\text{Pic}}(X)}$是可逆層的同構類在張量積下構成的交換群。

任意一個除子${\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p}$，我們可以定義${\displaystyle D}$的次數${\displaystyle {\text{deg}}D=\sum _{}^{}n_{p}}$。根據定義，這一定是一個有限和。對於緊黎曼面，主除子的次數總為零。由此可見，除子的次數隻依賴於它在Picard群中的像。

Weil除子

若 X 是一不可約（irreducible），既約（reduced）的局部諾特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韋伊除子（prime Weil divisor）是指一個余維數為一的不可約且既約的子概形。X 上的一個韋伊除子是素韋伊除子的有限形式和。

Cartier除子

假設 X 為一不可約且既約的諾特概形。則 X 上的非零有理函數的芽關於乘法構成了一個阿貝爾群層，記為 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }}$。 它是一個常數層，且包含所有非零正則函數的芽層 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\ast }}$ 為子層。按定義，X 上的一個卡蒂亞除子（Cartier divisor）為商層 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }/{\mathcal {O}}_{X}^{\ast }}$ 的一個整體截面。

類群

Cartier除子類群

Cartier除子定義的線叢