鎖相迴路

鎖相迴路（PLL: Phase-locked loops）是利用回授（Feedback）控制原理實現的頻率及相位的控制系統，其作用是將電路輸出的信號與其外部的參考信號保持同步，當參考信號的頻率或相位發生改變時，鎖相迴路會檢測到這種變化，並且通過其內部的回授系統來調節輸出頻率，直到兩者重新同步，這種同步又稱為「鎖相」（Phase-locked）。

最簡單的類比鎖相迴路

鎖相迴路有許多種，最簡單的鎖相迴路會包括變頻振盪器（英語：variable frequency oscillator）以及鑒相器，形成回授迴路。振盪器產生訊號，鑒相器比較輸出訊號和輸入週期訊號之間的相位，調整振盪器輸出，設法和輸入週期訊號同步。

若讓輸出訊號和輸入訊號之間的相位一致，則兩者的頻率也會一致。因此，鎖相迴路除了讓相位一致之外，也可以追蹤輸入訊號的頻率，或是產生頻率是輸入訊號整數倍的信號。此特性可以用在電腦時脈的同步、解調變（英語：demodulation）及頻率合成（英語：frequency synthesis）。

鎖相迴路常用在無線電、電信、電子計算機及其他電子設備中。鎖相迴路也可以用來解調變訊號、從高雜訊的通訊頻道中恢復原始信號、產生頻率為輸入信號頻率整數倍的頻率（頻率合成）、或在數位電路（例如微處理器）中產生準確的時鐘脈衝。因為單一的積體電路即可提供完整的鎖相迴路機能，此技術已普遍使用在現在的電子設備中，輸出頻率從1Hz以下，到數GHz。

實際上類似的例子

賽車

鎖相迴路可以用賽車來說明：考慮兩部車進行的繞圈賽車，一部車代表輸入信號，另一部車代表鎖相迴路的輸出，也就是壓控振盪器（VCO）頻率。每一圈代表一個完整的週期。每小時的圈數代表頻率，兩部車之間的距離代表信號之間的相位差。

大部份賽車的過程中，兩部車都可以超過對方或落過對方，這類似鎖相迴路的非鎖相狀態。

但若有事故，賽車場會出現黃色警告旗，此時，任何一部車輛都不允許超過其他的車，也不允許被其他的車超過。此時的兩部車就代表鎖相迴路在鎖相狀態下的輸入信號和輸出信號。每一個駕駛者都會量測其車輛和其他車輛的相位差。若和前車保持的距離太遠了，會設法加速使距離拉近，若和前車保持的距離太近了，會設法減速使距離拉遠。因此，兩部車會保持固定的距離。因為車輛不允許超過其他的車，因此在相同時間內，兩車繞的圈數會相同，因此兩個信號的頻率相同。

時鐘的例子

相位和時間成正比^[a]，因此相位差可以用時間差來表示。時鐘相對其他時鐘而言，某程度上會有鎖相（固定時間差），但準確度可能有些不同。

若讓時鐘自行運作，各時鐘計時的速率會有些微的差距。例如牆上的鐘每一小時可能會比國家標準技術研究所的鐘快了幾秒，隨著時間過去，時間差會越來越大。

若要讓牆上的鐘和參考時鐘同步，可以每一週比較牆上的鐘和參考時鐘的時間（相位比較），然後調整牆上的鐘。若沒有調整，牆上的鐘和參考時鐘的偏差會越來越大。

有些時鐘有計時調整功能，若比較時鐘和標準時鐘，發現時鐘太快了，會設法讓時鐘的計時慢一點，若時鐘太慢了，會設法讓時鐘的計時快一點。若順利的話，時鐘和標準時鐘的誤差會漸漸縮小。幾週後，時鐘就會準確的對應標準時鐘（在時鐘本身的穩定性範圍內，頻率和相位都和標準時鐘一致）。

早期電動機械學中也有鎖相迴路，例如1921年的Shortt-Synchronome鐘（英語：Shortt-Synchronome clock）。

歷史

安森美 HC4046A，是鎖相迴路IC

荷蘭物理學家克里斯蒂安·惠更斯早在1673年就發現弱耦合的擺鐘會有自發性同步的情形^[1]。在19世紀時，瑞利男爵發現弱耦合的風琴管及音叉也有同步的情形^[2]。1919年時，威廉·埃克爾斯（英語：William Eccles）和J. H. Vincent發現二個調諧到頻率略有差異的電子振盪器，若在諧振電路中耦合，會以相同的頻率共振^[3]。電子振盪器的自動同步是由愛德華·阿普爾頓在1923年發現的^[4]。

1925年時，布里斯托爾大學電機系的大衛·羅賓森（David Robertson）教授，在威爾斯紀念大樓Great George鐘敲鐘出聲的時鐘控制電路中，引入了鎖相的概念。羅賓森教授設計的鐘有一個機電裝置可以調整擺鐘的振動速率，所用的修正訊號是來自一個比較電路，在每天上午格林威治時間10點時，比較格林威治天文台的電報脈衝以及擺鐘的相位。其中除了現在電子鎖相迴路中會有的每一個組件之外，羅賓森的設計還有一個特點，其相位比較器是用繼電器邏輯的方式實現相位/頻率比較的機能，一直到1970年代之後才在電子電路中看到類似的設計。羅賓森的研究比後來1932年提出，後來命名為「鎖相迴路」（phase-lock loop）的研究要早。1932年的研究是英國科學家設法想找到可以代替埃德溫·霍華德·阿姆斯特朗的超外差收音機、同差檢測（英語：Homodyne detection）或直接變換接收機（英語：direct-conversion receiver）的方案。在同差系統中，會將本機振盪器（英語：local oscillator）調到想要的頻率，再乘上輸入的信號。所得的輸出信號會包括原始的調變資訊。原意是想發展一種調諧電路比超外差收音機要少的電路。因為本機振盪器的頻率會快速的飄移，會有自動修正信號加到振盪器上，使其頻率和相位和輸入信號相同。此技術是在1932年時，在Henri de Bellescize發表在法文期刊L'Onde Électrique的論文中所提及^[5][6][7]。

至少從1930年代起，類比電視接收器的鎖相迴路垂直掃描和水平掃描電路，都會和廣播信號的同步信號鎖相^[8]。 西格尼蒂克在1969年推出了具有完整鎖相迴路機能的單片集成電路（例如NE565）^[9]，類似技術的應用就不斷的增加。後來RCA推出了CD4046互補式金屬氧化物半導體的微功率鎖相迴路IC，是當時廣為使用的積體電路。

結構和功能

一個鎖相迴路電路通常由以下模塊構成：

• 鑒頻鑒相器（PFD）
• 低通濾波器（LPF）
• 壓控振盪器（VCO）
• 反饋迴路（通常由一個分頻器來實現）

每個模塊的簡單原理描述如下：

• 鑒頻鑒相器： 對輸入的參考信號和反饋迴路的信號進行頻率和相位的比較，輸出一個代表兩者差異的信號至低通濾波器。
• 低通濾波器： 將輸入信號中的高頻成分濾除，保留直流部分送至壓控振盪器。
• 壓控振盪器： 輸出一個周期信號,其頻率由輸入電壓所控制。
• 反饋迴路 ： 將壓控振盪器輸出的信號送回至鑒頻鑒相器。通常壓控振盪器的輸出信號的頻率大於參考信號的頻率，因此需在此加入分頻器以降低頻率。

分類

• 按照實現技術，可以分為模擬鎖相迴路（APLL，Analog PLL）和數字鎖相迴路（DPLL，Digital PLL）。
  • 模擬鎖相迴路（Analog PLL）是指類比的鑒相器，濾波器可能是主動的，也可能是被動的。使用壓控振盪器，若其迴路在原點恰有一個極點，則此APLL稱為type II鎖相迴路。
  • 數字鎖相迴路（Digital PLL）是指數位的鑒相器，若濾波器、振盪器也都是數位的（如數控振盪器（英語：Numerically-controlled oscillator）），則稱為全數位鎖相迴路（ADPLL，All digital PLL）
• 按照反饋迴路，可以分為整數倍分頻鎖相迴路（Integer-N PLL）和分數倍分頻鎖相迴路（Fractional-N PLL）。
• 按照鑒頻鑒相器的實現方式，可以分為電荷泵鎖相迴路（Charge-Pump PLL）和非電荷泵鎖相迴路。
• 按照環路的帶寬，它可以分為寬帶鎖相迴路（Wide band loop PLL）和窄帶鎖相迴路（Narrow band loop PLL）。

性能指標

主條目：鎖相迴路範圍

• 種類和階數
• 鎖相迴路頻率範圍：hold-in範圍（追蹤範圍）、捕獲範圍、鎖定範圍^[10]
• 穩定性指標：迴路頻寬，相位裕度（Phase margin）。
• 暫態響應：例如過沖、到特定精度（例如50 ppm）的安定時間。
• 穩態誤差：相位誤差或是時序誤差。
• 輸出頻譜純淨度：例如特定VCO調諧電壓漣波的邊帶。
• 相位雜訊：定義為特定頻帶的雜訊能量（例如載波上下10 kHz）。這和VCO相位雜訊、PLL頻寬高度相關。
• 通用參數：例如能耗、電源範圍、輸出振幅。

減少抖動以及雜訊

鎖相迴路的理想特性是是參考時脈和回授時脈的邊緣可以對正。在PLL已經鎖定時，兩者相位的平均誤差稱為靜態相位偏移（static phase offset）或穩態相位誤差（steady-state phase error）。二個相位之間的變異稱為追隨抖動。理想上，靜態相位偏移要是0，追隨抖動越小越好^[可疑]。

相位雜訊（英語：Phase noise）是鎖相迴路會有的另一種抖動，是因為振盪器本身以及振盪器的頻率控制電路元件所造成。在此一層面上，已有一些技術比其他技術的性能更好。最早的數位鎖相迴路是用射極耦合邏輯電路（英語：Emitter coupled logic）（ECL）組成，不過其功耗很高。若要讓鎖相迴路有小的相位雜訊，最好避免使用電晶體－電晶體邏輯（TTL）或的互補式金屬氧化物半導體（CMOS）等飽和邏輯特性的零件^[11]。

鎖相迴路的另一個理想特性是在電源及地的電壓突然變化時,其產生的時脈頻率和相位不會受到影響。這稱為電源電壓抑制比，抑制比越高越好。

若要改善輸出的相位雜訊，其VCO可以用注入鎖定振盪器（英語：injection locked oscillator）。

應用領域

鎖相迴路常用在同步應用中，例如太空同調解調（英語：coherent demodulation）和門限擴展（threshold extension）的通訊、位元同步（英語：bit synchronization）和符號同步。鎖相迴路也用在頻率調製信號的解調變。在無線電發射機中，會用PLL來合成新的頻率，是參考頻率的倍數，和參考頻率有相同的穩定度。

其他的應用有：

• 頻率調製（FM）訊號的解調變：若PLL鎖定FM訊號，VCO會追蹤輸入信號的瞬時頻率。濾波後的誤差電壓會控制VCO，並且和輸入信號鎖定，這就是解調變後的FM輸出。VCO轉遞特徵會決定解調變輸出的線性度。因為用在PLL積分電路中的VCO是高度線性的信號,因此可以實現高線性度的FM解調變器。
• 頻率偏移調變（FSK）的解調變：用在數位資料通訊以及電腦週邊上，透過在二個事先設定頻率之間切換的信號來傳輸二進位資料。
• 小信號的恢復（用鎖相放大器來追蹤參考頻率）
• 恢復資料流（例如來自碟盤存儲資料）的時脈資訊
• 微處理器的倍頻器（英語：CPU multiplier），讓內部的處理器元件可以運行的比外部的時脈更快，而且有準確的比例關係。
• 調製解調器的解調變，以及電信和遙控訊號的音頻信號。
• 影響信號的數字信號處理。鎖相迴路也用來同步影片訊號的相位和頻率，因此可以取樣及進行數位處理。
• 非接觸式的原子力顯微鏡，偵測探針和表面的交叉作用產生的共振頻率。
• 直流電動機電機控制器

時脈恢復

有些資料流，特別是高速的串列資料流（例如硬碟磁頭讀到的原始資料流），在傳送時不會將其時脈信號一起送出。接收器利用類似的參考頻率來產生時脈，再利用PLL將其時脈和接收資料的相位鎖定同步。此程序稱為時脈恢復（英語：clock recovery）。為了時脈功能，資料流中必須有夠快的資料切換，以校正PLL振盪器的頻率飄移。一般而言，會使用一些線路碼（例如8b/10b），讓二次資料切換時間間隔有一個明確的上限值 ^[12]。

偏移校正

若時脈和資料一起傳送，會用時脈為準來進行資料取樣。因為時脈接收後需放大，才能驅動正反器取樣資料。時脈邊緣和接收的資料窗之間會有一個有限大小的時間延遲，長度隨過程、溫度、電壓而不同。此時間延遲會限制傳送資料的速率。有一種消除延遲的方式是在接收端加入一個偏移校正（deskew）的PLL，使得每一次資料正反器的時脈都接收到的時間同相位。此應用中，常會使用一種特殊的鎖相迴路，稱為延遲鎖定迴路（英語：delay-locked loop）（DLL）^[12]。

展頻

所有的電子系統都會發射一些不想要的無線電訊號。有許多的機構（例如美國的聯邦通信委員會）會限制這些發射的能量，以及其帶來的干擾。發射的雜訊其頻率一般會有一個尖銳的頻譜峰值（一般是在元件的工作頻率，或是其幾倍的諧波）。系統設計者可以用展頻（spread-spectrum）PLL，將頻譜上的能量分散在其他頻段，使峰值降低，以減少對高Q值接收器的干擾。例如，將工作頻率略為往上或往下調整（約1%），工作在數百MHz的元件，可以將其干擾頻譜擴展到數MHz的頻寬範圍內，這可以大幅減少對調頻廣播頻道（其頻寬是數萬Hz）的干擾。

時脈分配

一般來說，晶片的參考時脈會驅動晶片中的鎖相迴路（PLL），接著驅動晶片內的時脈分配。時脈分配一般會以平衡分配，設法讓時脈可以同時到達晶片的各個端點。其中一個端點是鎖相迴路的回授輸入。鎖相迴路的功能是比較分配的時脈以及參考時脈，並且調整分配時脈的相位以及頻率，使其分配時脈的相位以及頻率和參考輸入同步。

鎖相迴路無所不在，包括在距離數公尺的系統時鐘校準，也用在晶片中的時脈裡。有時參考信號不一定是單純的時脈信號，也有可能是有夠快資料轉換的資料流，讓鎖相迴路可以從資料流中取得正常且夠快的時脈訊號。有時參考時脈的頻率和分配時脈相同，也有可能分配時脈的頻率和參考頻率之間有有理數的比例關係。

AM偵測

鎖相迴路可以同步的解調變調幅（AM）信號。鎖相迴路會從調幅信號的載波中還原頻率以及相位資料。VCO收到的相位會和載波差90度，因此會調整相位差使其同步，再送到乘法器中。乘法器的輸出包括頻率信號的和以及差，再經過低通濾波後取得解調變信號。因為PLL只會針對很接近VCO輸出的載波頻率有反應，因此PLL AM偵測器有高度的選擇性以及雜訊抑制能力，這是傳統峰值型解調變器作不到的。不過，若調幅訊號的調變深度到100%，鎖相迴路可能會無法鎖定（lose lock）^[13]。

頻率合成

在數位無線通訊系統（例如GSM、CDMA等）中，在傳輸時會用PLL針對本地振盪器進行上轉換（up-conversion），在接收時也會對本地振盪器進行數位下轉換（英語：Digital down converter）。大部份的行動電話中，此一機能已整合到單一的積體電路中，以減小行動電話的成本及體積。在基地站，因為訊號需要的高性能，需要用分立元件來達到所需的性能。GSM本地振盪器模組一般會用頻率合成器（英語：frequency synthesizer）積體電路及分立的共振腔壓控振盪器^{[來源請求]}。

方塊圖

鎖相迴路的方塊圖

鑒相器會比較兩個輸入信號，並產生和其相位差成正比的誤差信號，誤差信號會經過低通濾波，之後驅動壓控振盪器（VCO），以產生輸出相位。此輸出會透過回授迴路（可能再加上除頻器）再成為系統的回授輸入，因此形成負反饋。若輸出相位偏移，誤差信號會增加，使壓控振盪器的相位往另一個方向變化，以減少相位誤差。因此輸出相位可以鎖定另一輸入信號（稱為參考信號）的相位^{[來源請求]}。

類比的鎖相迴路是由類比的鑒相器、低通濾波器以及壓控振盪器組成，形成負反饋的組態。數位的鎖相迴路則會有數位的鑒相器，也可能在參考信號、反饋路徑（或兩者都有）加上除頻器，讓PLL輸出的頻率可以維持為參考信號頻率的有理數。若將反饋路徑的除以N除頻器改為可程式化的吞脈衝計數器，也可以讓輸出信號的頻率是參考信號的非整數倍。

振盪器會產生週期性的輸出信號。假設一開始振盪器的頻率幾乎和參考信號相同，若振盪器的相位落後參考信號，鑒相器會增加振盪器的控制電壓，使其頻率加快。若振盪器的相位領先參考信號，鑒相器會降低振盪器的控制電壓，使其頻率減慢。因為一開始振盪器的頻率可能會和參考信號的頻率差很多。實務上的鑒相器也會回應頻率差，目的是增加可允許輸入的鎖定範圍。依應用的不同，可能會用壓控振盪器的輸出作為PLL系統的輸出，也可能是以給振盪器的控制信號作為系統輸出^{[來源請求]}。

組成

鑒相器

主條目：鑒相器

鑒相器（phase detector，簡稱PD）會產生對應二信號相位差的電壓。在鑒相器中，鑒相器的信號輸入分別是參考輸入，以及壓控振盪器（VCO）輸出的回授信號。鑒相器的輸出可以用來控制壓控振盪器，使二信號之間的相位差可以調整為定值，因此整個系統是負回授系統 ^[14]。

不同種類的鑒相器有不同的性能特性。

例如，混頻器會產生諧波，因此會產生不希望出現的頻率邊帶，也稱為參考突波（reference spurs），若希望壓控振盪器（VCO）產生的是單一頻率的訊號，這就會增加設計的複雜性。在濾波器設計需求中，會因為這部份的濾波而降低捕獲範圍，或是拉長鎖定時間。在這些應用中會使用比較複雜的數位鑒相器，其輸出不會有嚴重的參考突波問題。而且在鎖波時，其輸入的穩態的相差會接近90度^{[來源請求]}。

在鎖相迴路應用中，常需要知道鎖相迴路是否有失鎖（out of lock）的情形，比較複雜的數位鑒相器會有對應失鎖的輸出信號。

數位鎖相迴路中常會使用XOR 門當作簡易鑒相器。若對線路作一些簡單的修改，也可以用在類比鎖相迴路中。

濾波器

鎖相迴路濾波器（多半是低通濾波器）一般會有兩種不同的功能。

第一個功能是決定迴路的動態特性（也稱為穩定性）。這是指迴路對擾動（例如參考頻率的變動、田回授除頻器的變化，或是啟動）的響應特性。常見的考量是迴路可以鎖定的範圍（pull-in範圍、鎖定範圍、捕獲範圍），迴路鎖定的速度（lock時間，lock-up時間或安定時間）、阻尼（英語：Damping factor）特性等。依應用的不同，濾波器可能會是以下幾種的一種或多種：單純的比例（P，增益或衰減量）、積分（I，低通濾波器）、導數（D，高通濾波器）。迴路的參數常會用波德圖及相位裕度進行檢驗。控制理論中的常用概念（包括PID控制器）用設計此功能。

第二個功能是限制參考信號的頻率能量範圍（漣波），這是鑒相器輸出以及VCO控制輸入上的信號。此信號上若有不希望出現的頻率邊帶，即為參考突波（reference spurs）。

此模組的設計可能主要會是上述二個功能中的一個，也有可能是比較複雜的模組，設法達到上述二功能。常見的取捨可能是增加系統頻寬，但是會降低穩定值，或是加入阻尼使穩定性變好，但是降低系統反應速度，增加安定時間。上述的調整也會影響相位雜訊。

振盪器

主條目：電子振盪器

所有的鎖相迴路都會有可以調整輸出頻率的振盪器，可以是由類比電路驅動的類比振盪器（類比鎖相迴路），或是像部份數位鎖相迴路（DPLL）的作法，使用數位類比轉換器（D-A converter）。若是全數位鎖相迴路（ADPLL），會用純數位的振盪器^{[來源請求]}。

回授路徑以及除頻器

一個數位除頻器（除以4）的例子，可以用在倍數的鎖相迴路

可以在PLL的振盪器和回授輸入之間加入除頻器，以進行頻率合成（英語：Frequency synthesizer）。在無線電發射器的應用中常會用到可程式的除頻器，因為可以用穩定、準確但昂貴的單一頻率石英晶體諧振器產生許多不同的頻率。

有些PLL在參考時脈和給鑒相器的參考輸入之間加入除頻器。若回授迴路有除${\displaystyle N}$的除頻器，而參考輸入有除${\displaystyle M}$的除頻器，可以讓PLL的頻率為參考頻率的${\displaystyle N/M}$倍。直接給鎖相迴路較低頻率的參考輸入似乎不難，不過有時參考頻率因為其他因素而受到限制，因此會改在參考時脈和給鑒相器的參考輸入之間加入除頻器。

乘頻率的PLL也可以用將電子振盪器的輸出鎖定在參考信號的N次諧波來實現。此時就不用單純的鑒相器，會用諧波混合器（harmonic mixer）。諧波混合器會將參考信號變成有許多諧波的脈衝序列，^[b]。VCO的輸出會大約調整到接近其中的一個諧波。因此，想要的諧波混合器輸出（表示N次諧波和VCO輸出的差異）落在濾波器通帶頻率範圍內。

回授迴路中也不一定只能用除頻器。回授迴路中也可以用乘頻器或頻率混合器。乘頻器會讓VCO的輸出是參考頻率的幾分之一。也可以是這些元件的組合。例如頻率混合器加上除頻器：這可以讓除頻器運作在很低的頻率，但不會影響迴路增益。

建模

類比PLL的時域模型

用類比乘法器作為鑒相器，使用線性濾波器的類比PLL，可以用以下方式來推導其方程式。令鑒相器的參考輸入為${\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))}$，VCO的輸出為${\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))}$，相位分別是${\displaystyle \theta _{1}(t)}$和${\displaystyle \theta _{2}(t)}$。${\displaystyle f_{1}(\theta )}$和${\displaystyle f_{2}(\theta )}$是各信號波形的函數。則鑒相器的輸出${\displaystyle \varphi (t)}$為

${\displaystyle \varphi (t)=f_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t))}$

VCO頻率會是VCO輸入的函數${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}(t)=\omega _{2}(t)=\omega _{\text{free}}+g_{v}g(t)\,}$

其中${\displaystyle g_{v}}$為VCO的靈敏度，其單位為Hz / V， ${\displaystyle \omega _{\text{free}}}$是VCO的自由運行頻率。

迴路濾波器可以用以下線性微分方程系統來表示

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (t),\\g(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\quad x(0)=x_{0},}$

其中${\displaystyle \varphi (t)}$是濾波器輸入 ${\displaystyle g(t)}$是輸波器輸出，${\displaystyle A}$是 ${\displaystyle n}$維方陣， ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n},\quad b\in \mathbb {R} ^{n},\quad c\in \mathbb {C} ^{n},\quad }$. ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$是濾波器的初始狀態。星號表示共軛轉置。

因此PLL的系統如下

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+bf_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t)),\\{\dot {\theta }}_{2}&=&\omega _{\text{free}}+g_{v}(c^{*}x)\\\end{array}}\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{2}(0)=\theta _{0}.}$

其中${\displaystyle \theta _{0}}$是初始的相位偏差量。

類比PLL的相位域模型

考慮PLL的參考輸入${\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))}$和VCO的輸出 ${\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))}$是高頻訊號。 則針對任何片段可微的${\displaystyle 2\pi }$週期函數 ${\displaystyle f_{1}(\theta )}$ and ${\displaystyle f_{2}(\theta )}$，存在一函數 ${\displaystyle \varphi (\theta )}$使得濾波器${\displaystyle G(t)}$的輸出

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t)),\\G(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\quad x(0)=x_{0},}$

在相位域上漸近等於在時域模型中濾波器的輸出（${\displaystyle G(t)-g(t)}$的差值，相對頻率而言很小） ^[15][16]。 此處${\displaystyle \varphi (\theta )}$是鑒相器特性函數。

相位差標示為${\displaystyle \theta _{\Delta }(t)}$

${\displaystyle \theta _{\Delta }=\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t).}$

則以下的動力系統可以描述PLL的行為

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{\Delta }),\\{\dot {\theta }}_{\Delta }&=&\omega _{\Delta }-g_{v}(c^{*}x).\\\end{array}}\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{\Delta }(0)=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0).}$

此處${\displaystyle \omega _{\Delta }=\omega _{1}-\omega _{\text{free}}}$; ${\displaystyle \omega _{1}}$ 是參考振盪器的頻率（假設${\displaystyle \omega _{\text{free}}}$是定值）。

舉例

考慮弦波信號

${\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))=A_{1}\sin(\theta _{1}(t)),\quad f_{2}(\theta _{2}(t))=A_{2}\cos(\theta _{2}(t))}$

以及作為濾波器的單極點RC電路。其時域模型如下

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=-{\frac {1}{RC}}x+{\frac {1}{RC}}A_{1}A_{2}\sin(\theta _{1}(t))\cos(\theta _{2}(t)),\\[6pt]{\dot {\theta }}_{2}&=\omega _{\text{free}}+g_{v}(c^{*}x)\end{aligned}}}$

此信號的鑒相器特性等於^[17]

${\displaystyle \varphi (\theta _{1}-\theta _{2})={\frac {A_{1}A_{2}}{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})}$

因此相位域模型如下

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=-{\frac {1}{RC}}x+{\frac {1}{RC}}{\frac {A_{1}A_{2}}{2}}\sin(\theta _{\Delta }),\\[6pt]{\dot {\theta }}_{\Delta }&=\omega _{\Delta }-g_{v}(c^{*}x).\end{aligned}}}$

此系統方程式和單擺的數學方程式等效

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {{\dot {\theta }}_{2}-\omega _{2}}{g_{v}c^{*}}}={\frac {\omega _{1}-{\dot {\theta }}_{\Delta }-\omega _{2}}{g_{v}c^{*}}},\\[6pt]{\dot {x}}&={\frac {{\ddot {\theta }}_{2}}{g_{v}c^{*}}},\\[6pt]\theta _{1}&=\omega _{1}t+\Psi ,\\[6pt]\theta _{\Delta }&=\theta _{1}-\theta _{2},\\[6pt]{\dot {\theta }}_{\Delta }&={\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2}=\omega _{1}-{\dot {\theta }}_{2},\\[6pt]&{\frac {1}{g_{v}c^{*}}}{\ddot {\theta }}_{\Delta }-{\frac {1}{g_{v}c^{*}RC}}{\dot {\theta }}_{\Delta }-{\frac {A_{1}A_{2}}{2RC}}\sin \theta _{\Delta }={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{g_{v}c^{*}RC}}.\end{aligned}}}$

線性化的相位域模型

鎖相迴路也可以進行拉普拉斯變換，當做控制系統來分析。其迴路響應可以寫為下式：

${\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {K_{p}K_{v}F(s)}{s+K_{p}K_{v}F(s)}}}$

其中

• ${\displaystyle \theta _{o}}$是輸出相位，單位為弧度。
• ${\displaystyle \theta _{i}}$是輸入相位，單位為弧度。
• ${\displaystyle K_{p}}$是鑒相器增益，單位是V/rads
• ${\displaystyle K_{v}}$是壓控振盪器增益，單位是rads/V-s
• ${\displaystyle F(s)}$是迴路濾波器傳遞函數（無因次）

迴路中可以加入不同的迴路濾波器，以控制迴路特性。最簡單的濾波器是一個極點的RC電路。其迴路傳遞函數如下

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sRC}}}$

迴路響應為：

${\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}{s^{2}+{\frac {s}{RC}}+{\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}}$

這是標準的諧振子型式。其分母和以下的二階系統有關：

${\displaystyle s^{2}+2s\zeta \omega _{n}+\omega _{n}^{2}}$

其中${\displaystyle \zeta }$是阻尼比，${\displaystyle \omega _{n}}$是迴路的自然頻率。

針對單極點的RC濾波器

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2{\sqrt {K_{p}K_{v}RC}}}}}$

迴路的自然頻率是量測迴路的響應時間，阻尼比則是和過沖和振鈴（ringing）有關。理想上，自然頻率越高越好，阻尼比應接近0.707（臨界阻尼）。不過針對單極點濾波器，自然頻率和阻尼比兩者無法個別獨立調整。考慮臨界阻尼

${\displaystyle RC={\frac {1}{2K_{p}K_{v}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=K_{p}K_{v}{\sqrt {2}}}$

另外一種比較有效的濾波器，超前－滯後濾波器（lag-lead filter），其中有一個極點和一個零點，可以用二個電阻和一個電容實現，其傳遞函數為

${\displaystyle F(s)={\frac {1+sCR_{2}}{1+sC(R_{1}+R_{2})}}}$

此濾波器有二個時間常數

${\displaystyle \tau _{1}=C(R_{1}+R_{2})}$

${\displaystyle \tau _{2}=CR_{2}}$

自然頻率和阻尼比和時間常數的關係如下

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{\tau _{1}}}}}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2\omega _{n}\tau _{1}}}+{\frac {\omega _{n}\tau _{2}}{2}}}$

因此給定自然頻率和阻尼比，可以針算迴路濾波器的時間常數

${\displaystyle \tau _{1}={\frac {K_{p}K_{v}}{\omega _{n}^{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {2\zeta }{\omega _{n}}}-{\frac {1}{K_{p}K_{v}}}}$

真實應用中的迴路濾波器設計會更複雜，可能會使用高階的濾波器去降低特定來源的相位雜訊（可以參考以下D Banerjee的參考資料）。

用軟體實現數位鎖相迴路

數位鎖相迴路可以用硬體來實現，例如用像是CMOS 4046的積體電路。不過微處理器的速度越來越快，因此若鎖相的頻率沒有到MHz的等級，這類的應用（例如精準的控制馬達速度）可以用軟體來實現鎖相迴路。用軟體實現數位鎖相迴路有幾個好處，對於反饋迴路的客製比比較簡單（包括參考信號和輸出信號的除頻、倍頻或頻率比例關係）。而且，軟體實現容易瞭解，也容易作實驗。以下是一個用MATLAB實現的數位鑒相器，這類的鑒相器強健性高，而且容易實現。

% This example is written in MATLAB

% Initialize variables
vcofreq = zeros(1, numiterations);
ervec = zeros(1, numiterations);
% Keep track of last states of reference, signal, and error signal
qsig = 0; qref = 0; lref = 0; lsig = 0; lersig = 0;
phs = 0;
freq = 0;

% Loop filter constants (proportional and derivative)
% Currently powers of two to facilitate multiplication by shifts
prop = 1 / 128;
deriv = 64;

for it = 1:numiterations
    % Simulate a local oscillator using a 16-bit counter
    phs = mod(phs + floor(freq / 2 ^ 16), 2 ^ 16);
    ref = phs < 32768;
    % Get the next digital value (0 or 1) of the signal to track
    sig = tracksig(it);
    % Implement the phase-frequency detector
    rst = ~ (qsig & qref); % Reset the "flip-flop" of the phase-frequency
    % detector when both signal and reference are high
    qsig = (qsig | (sig & ~ lsig)) & rst; % Trigger signal flip-flop and leading edge of signal
    qref = (qref | (ref & ~ lref)) & rst; % Trigger reference flip-flop on leading edge of reference
    lref = ref; lsig = sig; % Store these values for next iteration (for edge detection)
    ersig = qref - qsig; % Compute the error signal (whether frequency should increase or decrease)
    % Error signal is given by one or the other flip flop signal
    % Implement a pole-zero filter by proportional and derivative input to frequency
    filtered_ersig = ersig + (ersig - lersig) * deriv;
    % Keep error signal for proportional output
    lersig = ersig;
    % Integrate VCO frequency using the error signal
    freq = freq - 2 ^ 16 * filtered_ersig * prop;
    % Frequency is tracked as a fixed-point binary fraction
    % Store the current VCO frequency
    vcofreq(1, it) = freq / 2 ^ 16;
    % Store the error signal to show whether signal or reference is higher frequency
    ervec(1, it) = ersig;
end

在此例子中，假設tracksig陣列中有要追蹤的參考信號。振盪器是用計數器來實現，計數器的最高位元表示振盪器開啟或是關閉。程式模擬二個D型觸發器，可以作為相位和頻率的比較器。不論參考信號或回授信號出現上緣時，對應的觸發器會為高準位，當二個觸發器都是高準位時，會將觸發器重置。二個觸發器中何者為高準位，表示參考信號領先回授信號或落後回授信號。誤差信號是這二個觸發器值的差值。超前－滯後濾波器是用在濾波誤差信號中入誤差信號以及其導數所得。接下來要進行整合以找到其自然頻率。

在實務上，可以在鎖相迴路的回授中加入其他的動作。例如鎖相迴路是要實現倍頻器，則振盪信號可以先除頻，再和參考信號比較。

相關條目

• 頻率鎖定迴路（英語：Frequency-locked loop）
• 電荷泵鎖相迴路
• 載波恢復（英語：Carrier recovery）
• 科斯塔斯循環（英語：Costas loop）
• 延遲鎖定迴路（英語：Delay-locked loop）（DLL）
• 直接變換接收機（英語：Direct conversion receiver）
• 直接數字合成
• 卡爾曼濾波
• 多位元鎖相迴路（英語：PLL multibit）
• Shortt–Synchronome clock（英語：Shortt–Synchronome clock）：相位鎖定主單擺的單擺（約1921年）
• 佛洛依德·加德納（英語：Floyd M. Gardner）：鎖相迴路研究的專家，有提出電荷泵鎖相迴路猜想（Gardner's conjecture on charge-pump phase-locked loops），鎖定範圍問題（Gardner's problem on the lock-in range）也和他有關。
• 威廉·伊根（英語：William F. Egan），有提出對type II類比鎖相迴路鎖定範圍的猜想（Egan's conjecture on the pull-in range of type II APLL）

註解

1. 若頻率為常數，初始相位為零，弦波的相位就和時間成正比
2. 一般而言，參考弦波會驅動步進恢復二極體（英語：step recovery diode）產生脈衝序列。脈衝序列會驅動取樣率

參考資料

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2. See:

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3. See:

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   • W. H. Eccles and J. H. Vincent, British Patent Specifications, 163 : 462 (17 Feb. 1920).
4. E. V. Appleton (1923) "The automatic synchronization of triode oscillators," Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 21 (Part III): 231–248. Available on-line at: Internet Archive.
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6. See also: French patent no. 635,451 (filed: 6 October 1931; issued: 29 September 1932); and U.S. patent "Synchronizing system," （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） no. 1,990,428 (filed: 29 September 1932; issued: 5 February 1935).
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13. Dixon, Robert, Radio Receiver Design, CRC Press: 215, 1998, ISBN 0824701615
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延伸閱讀

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• Egan, William F., Frequency Synthesis by Phase Lock 2nd, John Wiley and Sons, 2000. (provides useful Matlab scripts for simulation)
• Gardner, Floyd M., Phaselock Techniques 3rd, Wiley-Interscience, 2005, ISBN 978-0-471-43063-6
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外部連結

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• P.R. Gray et coll., Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Wiley, 2001.
• T.H. Lee, The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, Second Edition, Cambridge University Press, 2003.
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• K. Shu et E. Sánchez-Sinencio, CMOS PLL Synthesizers: Analysis and Design, Springer, 2004.
• Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
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• Circuit sage: Phase Locked Loop Design （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Dennis Fischette's 1-Stop PLL Center （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Ask the Applications Engineer - 30 - PLL Synthesizers
• Jess Chen,「An introduction to the PLL library」, Cadence Design Systems document
• Agilent EEsof EDA Applications: Phase-Locked Loops （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PhD thesis: Modeling and simulation techniques for the accurate verification of Integer-N PLLs^{[永久失效連結]}