記數系統

記數系統（numeral system，system of numeration）又稱記數法、記數制度、數制，是使用一組數字符號來表示數的體系。記數可以俗稱為「寫數」，以區別同音詞計數。

一個理想的記數系統能夠：

• 有效地描述一組數（例如，整數、實數）
• 所有的數對應唯一的表示（至少有一個標準表示法）
• 反映數的代數和算術結構

記數系統可以按照以下方式分類：

• 按照底數區分的進位制，可分為十進制、二進制、八進制等
• 按照寫法，可分為中文數字、阿拉伯數字、羅馬數字等

歷史

更多資訊：自然數 § 歷史與0的定性

在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。

在公元前8000年至前3500年間，蘇美爾人發明了使用粘土保留數字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始，粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然後燒制而成的。大約前3100年，數字符號與被計數的事物分離，成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似，並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進制系統。這個系統是一種位置數值記數法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期（大約前1950年）得到了充分的發展，並成為巴比倫尼亞的標準。

上述六十進制系統是一種混合進位制系統，它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出，並傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。今天，我們仍然用它來計算時間（1小時=60分鐘）和角度（1度=60分）。

中國古代採用算籌記數，個位百位萬位等奇數位用縱籌，偶數位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌，並按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩餘定理）。模算術的好處在於，儘管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代，同樣的模算術有時用於數字信號處理。

羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用，直到1500年代進位制開始流行。

中美洲的瑪雅數字採用20或18^{[來源請求]}為基數的系統，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數值記數法和零這樣的高級屬性。他們將此用於高級的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。

印加帝國採用奇普，一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄，並因此失傳。今天，簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。

有些權威認為數位算術隨着中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年，零已被中國數學家正確地表述了，並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。

在印度，現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論，參看阿拉伯數字和印度數字。^[1]

從印度出發，伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此系統推廣到十進制分數。在9世紀，花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨着12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版，該系統傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。

二進制系統由萊布尼茲在17世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用，二進制系統在20世紀變得更加普遍。

常用基數

二

基數為2的系統（二進制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數，也代表只有兩種變化：不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態：開（1）及關（0），並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進制亦普遍使用於數碼影音系統中。

八

基數8的系統（八進制）是北加利福尼亞的Yuki部落設計的，他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人（多數歐洲和印度語言來源於此）可能用基數10的系統取代了基數8系統（或者一個只能數到8的系統）。證據是代表9的詞，newm，根據一些歷史學家推測來源於「新」（'new', newo-），這表示數字9是當時最近發明的，所以稱為『新數』（'new number'） (Mallory & Adams 1997年)。

九

涅涅茨語曾經使用基數9的系統（九進制），但在俄語的影響下轉變為十進制。yúq一詞最初表示9，但在俄語影響下變成了10的意思；所以在現在的涅涅茨，9現在是xasu-yúq，也就是「涅涅茨yúq」，而10就是yúq，但在東部方言中也作lúca-yúq, 也就是「俄語yúq」。

十

主條目：十進位制

十進制是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。

十二

基數12的系統（十二進制）曾經很流行，因為乘法和除法比十進制方便，而加法同樣簡單。12很有用，因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞「打」(dozen)，並且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進制來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數，它們曾被用來記數。

十六

基數為16的系統（十六進制）曾經在中國的重量單位上使用過，比如，規定16兩為一斤。現在的16進位則普遍應用在電腦領域，這是因為將二進位數字轉化為十六進位數字非常容易，用十六進位表達數字比用二進制方便。1位元組（一個8個位的二進位數字）可以很方便的表示成一個兩個位的16進位數字。

二十

瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進制、因努伊特的因努伊特數字，源於人的手指和腳趾總數。

六十

基數為60的系統（六十進制）是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的，今天還在我們的計時系統中存在（所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒）。60也有大量因子，包括前六個自然數。六十進制系統被認為是因為十進制和十二進制合併過程中產生的。中國曆法中，六十進制的甲子系統用於表示年，每個60年循環中的年用兩個符號代表，第一個符號是十進制的天干，第二個符號是十二進制的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一，這樣同樣的組合在60年後再現。該系統的第二個符號也和12個動物的生肖系統對應。

進位制詳解

更多資訊：位置記法

在「基數${\displaystyle b}$」的「位置記數系統」（其中${\displaystyle b}$是一個正自然數，叫做基數）中，${\displaystyle b}$個「基本符號」（或稱數字）對應於包括0的 最小${\displaystyle b}$個自然數。 要產生其他的數，必須變動這些基本符號在數中的位置。最後一位的符號用它本身的值，向左一位其值乘以${\displaystyle b}$。

例如，在十進制系統中（基數10），數 4327 表示 (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)，注意 ${\displaystyle 10^{0}}$ = 1。

一般來講，若${\displaystyle b}$是基底，我們在${\displaystyle b}$進制系統中的數表示為${\displaystyle a}$₁${\displaystyle b}$^k + ${\displaystyle a}$₂${\displaystyle b}$^k-1 + ${\displaystyle a}$₃${\displaystyle b}$^k-2 + ... + ${\displaystyle a}$_k+1${\displaystyle b}$⁰的形式，並按次序寫下數字${\displaystyle a}$₁${\displaystyle a}$₂${\displaystyle a}$₃ ... ${\displaystyle a}$_k+1。這些數字是 0 到 ${\displaystyle b}$-1 的自然數。

若一段文字（譬如這段文字）討論多個基數，若有歧義時，基數（本身用十進制表示）用下標方式寫在數的右邊。除非有上下文說明，沒有下標的數字視為十進制。

通過使用一點（小數點）來將數字分成兩組，就可以用位置系統來表示小數。例如，基數-2系統 10.11 表示1×2¹+ 0×2⁰ +1×2^-1 +1×2^-2 = 2.75。

一般來講，${\displaystyle b}$進制系統中的數有如下形式：

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}...)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}}$

數 ${\displaystyle b^{k}}$ 和 ${\displaystyle b^{-k}}$ 是相應數字的 比重。

注意有一個數有一個終止或者循環當且僅當它是有理數；這不依賴於基數的選擇。在一個進制中終止的數可以在另外一個有循環小數（thus 0.3₁₀ = 0.0100110011001...₂）。一個無理數在所有進制中不循環（無窮位不循環數字）。這樣，例如二進制中，π = 3.1415926...₁₀ 可以寫作不循環的 11.001001000011111...₂。

若${\displaystyle b}$=${\displaystyle p}$是一個質數，可以定義其向左的擴展不停止的${\displaystyle p}$進制數字；這些數字稱為p進數(p-adic)。

進制轉換

轉換正整數的進制的有一個簡單算法，就是通過用目標基數作長除法；餘數給出從最低位開始的「數字」。例如，1020304從10進制轉到7進制：

1020304 / 7 = 145757 r 5 ↑  => 11446435
 145757 / 7 =  20822 r 3 │
  20822 / 7 =   2974 r 4 │
   2974 / 7 =    424 r 6 │
    424 / 7 =     60 r 4 │
     60 / 7 =      8 r 4 │
      8 / 7 =      1 r 1 │
      1 / 7 =      0 r 1 │

再如，10110111 從2進制到5進制：

10110111 / 101 = 100100 r 11  (3) ↑  => 1213
  100100 / 101 =    111 r  1  (1) │
     111 / 101 =      1 r 10  (2) │
       1 / 101 =      0 r  1  (1) │

轉換一個「十進制」小數，可以用重複乘法，將整數部分作為「數字」。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數，例如0.1A4C從16進制轉換到9進制：

0.1A4C × 9 = 0.ECAC │
0.ECAC × 9 = 8.520C │
0.520C × 9 = 2.E26C │
0.E26C × 9 = 7.F5CC │
0.F5CC × 9 = 8.A42C │
0.A42C × 9 = 5.C58C ↓  => 0.082785...a

一般化變長整數

更一般化的有一種記法（這裡寫作小頭式），例如${\displaystyle a}$₀${\displaystyle a}$₁${\displaystyle a}$₂ 用作${\displaystyle a}$₀ + ${\displaystyle a}$₁${\displaystyle b}$₁ + ${\displaystyle a}$₂${\displaystyle b}$₁${\displaystyle b}$₂, etc.

註釋

1. David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company. 1911.

參考文獻

• Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3
• 高德納. 《計算機程序設計藝術》. Volume 2, 3rd Ed. Addison-Wesley. pp.194–213, "Positional Number Systems".
• J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
• A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
• Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund. Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. 1993. ISBN 978-0-226-58659-5.
• Schmandt-Besserat, Denise. How Writing Came About. University of Texas Press. 1996. ISBN 978-0-292-77704-0.
• Zaslavsky, Claudia. Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. 1999. ISBN 978-1-55652-350-2.nd}}

參見

• 計算機數字格式
• 數量級 (數)
• 減法式記法
• 德尼數字 – 虛構的數字系統，來自電子遊戲系列神秘島
• 結繩記數 印加數字系統
• 巴比倫數字 – 六十進制系統
• 黃金進制
• 數
• 計數
• 計數符號
• 十進制
• 長級差與短級差

外部連結

• 進制轉換器（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 帶小數點的進制轉換器
• 數字感覺與數數課程（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）