自同態

在數學中，自同態（英語：endomorphism）是從一個數學對象到它本身的態射（或同態）。例如，向量空間V的自同態是線性映射ƒ: V → V，而群G的自同態則是群同態ƒ: G → G，等等。一般地，我們可以討論任何範疇中的自同態，在集合範疇中，自同態就是從集合S到它本身的函數。

在任何範疇中，X的任何兩個自同態的複合也是X的自同態。於是可以推出，X的所有自同態的集合形成了一個幺半群，記為End(X)（或End_C(X)，以強調範疇C）。

自同構

主條目：自同構

X的可逆自同態稱為自同構。所有自同構的集合是End(X)的一個子群，稱為X的自同構群，記為Aut(X)。在以下的圖中，箭頭表示蘊含：

自同構	${\displaystyle \Rightarrow }$	同構
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
自同態	${\displaystyle \Rightarrow }$	同態

自同態環

阿貝爾群A的任何兩個自同態都可以相加起來，根據規則(f + g)(a) = f(a) + g(a)。在這個加法下，阿貝爾群的自同態形成了一個環（自同態環）。例如，Zⁿ的自同態的集合是所有整係數n × n矩陣的環。向量空間或模的自同態也形成了一個環，像預加法範疇中的任何對象的自同態一樣。非阿貝爾群的自同態生成了一個代數結構，稱為擬環（英語：Near-ring）。

參見

• 態射
• 弗羅貝尼烏斯自同態
• 伴隨自同態

外部連結

• 自同態和假象的範疇. Victor Porton. 2005. - 範疇的自同態（尤其是帶有偏序態射的範疇）也是一定的範疇的對象。
• Endomorphism. PlanetMath.