群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源

群論中的指導思想之一，是研究群 ${\displaystyle G}$ 及其表示的關係。群 ${\displaystyle G}$ 的表示是 ${\displaystyle G}$-模的特例：一個 ${\displaystyle G}$-模是一個阿貝爾群 ${\displaystyle M}$ 配上 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle M}$ 上的群作用 ${\displaystyle G\to \mathrm {End} (M)}$。等價的說法是：${\displaystyle M}$ 是群環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ 上的模。通常將 ${\displaystyle G}$ 的作用寫成乘法 ${\displaystyle m\mapsto gm}$。全體 ${\displaystyle G}$-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 ${\displaystyle G}$-模 ${\displaystyle M}$，最重要的子群之一是其 ${\displaystyle G}$-不變子群

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .}$

若 ${\displaystyle N\subset M}$ 是一個 ${\displaystyle G}$-子模（即：是 ${\displaystyle M}$ 的子群，且在 ${\displaystyle G}$ 的作用下不變），則 ${\displaystyle M/N}$ 上賦有自然的 ${\displaystyle G}$-模結構，${\displaystyle N^{G}\subset M^{G}}$，但是未必有 ${\displaystyle (M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}}$。第一個群上同調群 ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$ 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 ${\displaystyle H^{n}(G,-)}$，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構

以下假設 ${\displaystyle G}$ 為有限群，全體 ${\displaystyle G}$-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{G}(M,N)}$ 定義為滿足 ${\displaystyle f(gx)=gf(x)}$ 的群同態 ${\displaystyle f:M\to N}$。由於此範疇等價於 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 ${\displaystyle M\to M^{G}}$ 是從 ${\displaystyle G}$-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$ 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

• ${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}$
• 長正合序列：若 ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ 為 ${\displaystyle G}$-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

${\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots }$

在上述定義中，若固定一個域 ${\displaystyle k}$，並以 ${\displaystyle k[G]}$ 代替 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$，得到的上同調群依然同構。

標準分解

導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 ${\displaystyle M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$，其中 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 被賦予平凡的 ${\displaystyle G}$ 作用：${\displaystyle gx=x}$，故群上同調可以用Ext函子表達為

${\displaystyle H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)}$

另一方面，${\displaystyle G}$-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的射影分解 ${\displaystyle 0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }}$，則有自然的同構 ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))}$。最自然的分解是標準分解

${\displaystyle L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})}$

${\displaystyle g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})}$

${\displaystyle d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})}$

而 ${\displaystyle L_{0}\to \mathbb {Z} }$ 由 ${\displaystyle g_{0}\mapsto 1}$ 給出。

定義 ${\displaystyle K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)}$，其元素為形如 ${\displaystyle f:G^{i+1}\mapsto M}$ 的函數，並滿足 ${\displaystyle f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})}$，稱之為齊次上鏈。根據 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle L_{i}}$ 上的作用，這種 ${\displaystyle f}$ 由它在形如 ${\displaystyle (e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})}$ 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 ${\displaystyle K^{i}}$ 描述為

• ${\displaystyle K^{i}}$ 的元素為 ${\displaystyle G^{i}\to M}$ 之函數。
• ${\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})}$

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 ${\displaystyle H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)}$。

例子

較常用的上同調是 ${\displaystyle H^{1}}$ 與 ${\displaystyle H^{2}}$。從標準分解可導出以下的描述：

${\displaystyle H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}}$

準此要領，亦有

${\displaystyle H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}}$

群同調

上述理論有一對偶版本：對於任一 ${\displaystyle G}$-模 ${\displaystyle M}$，定義 ${\displaystyle DM}$ 為形如 ${\displaystyle gm-m}$ 的元素生成之子模。考慮從 ${\displaystyle G}$-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

${\displaystyle M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 ${\displaystyle H_{n}(G,M)}$。群同調可以藉Tor函子描述為

${\displaystyle H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調

將上述定義中的 ${\displaystyle G}$-模 ${\displaystyle M}$ 改成一般的群 ${\displaystyle A}$（未必交換），並帶有 ${\displaystyle G}$ 的作用 ${\displaystyle a\mapsto g(a)}$（稱之為 ${\displaystyle G}$-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

${\displaystyle H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}}$

${\displaystyle H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}}$

須留意 ${\displaystyle H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)}$ 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 ${\displaystyle A}$ 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 ${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1}$ 是 ${\displaystyle G}$-群的短正合序列，則有長正合序列

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)}$

若 ${\displaystyle A}$落在 ${\displaystyle B}$ 的中心，此序列右端可再加一項 ${\displaystyle H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)}$。

性質

Res 與 Cor

若 ${\displaystyle f:H\to G}$ 為群同態，則可將任一 ${\displaystyle G}$-模透過 ${\displaystyle f}$ 視為 ${\displaystyle H}$-模，此運算導出上同調之間的映射

${\displaystyle H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)}$

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的子群而 ${\displaystyle f}$ 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 ${\displaystyle G}$ 為有限群，必有 ${\displaystyle (G:H)<\infty }$，此時映射

${\displaystyle N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm}$

導出一個上限制映射 ${\displaystyle \mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)}$。

定理. ${\displaystyle \mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id} }$

中心擴張

若 ${\displaystyle M}$ 是平凡的 ${\displaystyle G}$ 模（即 ${\displaystyle \forall g\in G,\;gm=m}$），則 ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ 中的元素一一對應於 ${\displaystyle G}$ 對 ${\displaystyle M}$ 的中心擴張的等價類

${\displaystyle 0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1}$

中心擴張意謂：${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 1}$ 是群擴張，而且 ${\displaystyle M}$ 落在 ${\displaystyle E}$ 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 ${\displaystyle s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}}$。${\displaystyle s}$ 不一定是群同態，但存在函數 ${\displaystyle f:G^{2}\to M}$ 使得 ${\displaystyle s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')}$。${\displaystyle s}$ 及 ${\displaystyle f}$ 刻劃了 ${\displaystyle E}$ 的群結構。不難驗證 ${\displaystyle f\in K^{2}}$ 滿足 ${\displaystyle df=0}$，而 ${\displaystyle s}$ 的選取對應於 ${\displaystyle f\mapsto f+dh,h\in K^{1}}$，所以 ${\displaystyle f\in H^{2}(G,A)}$ 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 ${\displaystyle f\in H^{2}(G,A)}$ 都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列

若 ${\displaystyle N\subset G}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的正規子群，則有下述譜序列

${\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,}$

對於射影有限群，此式依然成立。

參考文獻

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