群環

在抽象代數中，群環是從一個群 ${\displaystyle G}$ 及交換環 ${\displaystyle R}$ 構造出的環，通常記為 ${\displaystyle R[G]}$ 或 ${\displaystyle RG}$。其定義為：

${\displaystyle R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad }$ （換言之，這是由基底 ${\displaystyle \{e_{g}:g\in G\}}$ 張出的自由 ${\displaystyle R}$-模）

其上的 ${\displaystyle R}$-線性乘法運算由 ${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}}$ 給出。${\displaystyle R[G]}$ 對 ${\displaystyle R}$-模的加法與上述乘法形成一個 ${\displaystyle R}$-代數。乘法單位元素為 ${\displaystyle 1:=e_{e}}$。

最常用的是 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ 或 ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ 的群環。對於後者，${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ 成為 ${\displaystyle G}$ 的表示：${\displaystyle s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}}$；若 ${\displaystyle G}$ 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 ${\displaystyle G}$，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 ${\displaystyle C_{c}(G)}$ 或 ${\displaystyle L^{1}(G)}$ 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

定義

例子

令 ${\displaystyle G=C_{3}}$ ，即階為 ${\displaystyle 3}$ 的循環群，其中 ${\displaystyle a}$ 為群的一個生成元， ${\displaystyle 1_{G}}$ 為其單位元。群環 ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ 中的元素 ${\displaystyle r}$ 可以表示成

${\displaystyle z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}}$

其中 ${\displaystyle z_{0}}$ ，${\displaystyle z_{1}}$ 以及 ${\displaystyle z_{2}}$ 皆為 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中的元素，即複數。

對群環中其他的元素 ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$ ，我們可以定義群環的加法

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}}$

以及乘法

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}=(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{1}w_{1}+z_{2}w_{0})a^{2}}$

基本性質

文獻

• A. A. Bovdi, Group algebra, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)