群擴張

在抽象代數中，設 ${\displaystyle Q}$ 為群，若存在群 ${\displaystyle G,N}$，及群的正合序列

${\displaystyle 1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to }}Q\to 1}$

（換言之，${\displaystyle i}$ 是單射、${\displaystyle p}$ 是滿射，且 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)}$；是故可視 ${\displaystyle N}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的正規子群，${\displaystyle G/N\simeq Q}$。）則稱群 ${\displaystyle G}$ 為 ${\displaystyle Q}$ 的群擴張，或稱 ${\displaystyle Q}$ 對 ${\displaystyle N}$ 的擴張。

由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於

${\displaystyle 1\to N\to N\times Q\to Q\to 1}$

則稱此擴張為平凡擴張。當 ${\displaystyle N}$ 落在 ${\displaystyle G}$ 的中心時，稱之為中心擴張。

分類

一般的群擴張不易分類。若限定 ${\displaystyle G}$ 為阿貝爾群，則 ${\displaystyle Q}$ 對 ${\displaystyle N}$ 的擴張等價類一一對應於 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}$（參見條目 Ext函子）。

另一方面，若在群擴張 ${\displaystyle 0\to A\to E\to G\to 1}$ 中，${\displaystyle A}$ 為阿貝爾群，可任取一截面 ${\displaystyle s:G\to E}$（s 不一定是群同態），群 ${\displaystyle G}$ 以共軛方式 ${\displaystyle a\mapsto s(g)as(g)^{-1}}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ 分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張

利用同樣作法，也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {g}}\to 0}$

若 ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {e}}]=0}$，稱之為中心擴張。

參考資料

• V.E. Govorov, Extension of a group, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4