典型群

在數學中，典型群（classical group）指與歐幾里得空間的對稱性密切相關的四類李群。所謂「古典」的使用取決於當下語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾在1939年發表的專著《古典群：它們的不變量和表式》。在菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領觀點下，也許反映了它們和「古典」幾何（classical geometry）的關系。

古典群是最被深入研究的線性李群，多數的古典群在古典物理與近代物理皆有應用。例如， ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ 對應到歐幾里得空間的旋轉，是古典物理中許多對稱性的基礎；勞侖茲群 ${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$ 描述了狹義相對論中時空的對稱性。其他還有特殊么正群 ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ 在量子色動力學、以及扭對稱群 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (m)}$ 在量子力學中皆有廣泛應用。

有時在緊群的限制下討論古典群，這樣容易處理它們的表示論和代數拓撲。但是這把一般線性群排除在外，當前都認為一般線性群是最古典的群^[1]。

和典型李群相對的是例外李群，具有一樣的抽象性質，但不屬於同一類。

和雙線性形式的關係

典型李群共同的特點是它們都與某個特定的雙線性或半雙線性形式的等距同構群密切聯繫。這四類用鄧肯圖標記（ ${\displaystyle n\geq 1}$ ），可以描述為：

• ${\displaystyle A_{n}=\operatorname {SU} (n)}$ ，特殊么正群，行列式為 ${\displaystyle 1}$ 的 ${\displaystyle n\times n}$ 么正矩陣。
• ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {SO} (2n+1)}$ ，特殊正交群， ${\displaystyle 2n+1\times 2n+1}$ 行列式為 ${\displaystyle 1}$ 的實正交矩陣。
• ${\displaystyle C_{n}=\operatorname {Sp} (n)}$ ，辛群，保持 Hⁿ 上的通常內積的 ${\displaystyle n\times n}$ 四元數矩陣。
• ${\displaystyle D_{n}=\operatorname {SO} (2n)}$ ，特殊正交群， ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 行列式為 ${\displaystyle 1}$ 的實正交矩陣。

為了某些特定的目的，去掉行列式為 ${\displaystyle 1}$ 的條件考慮酉群和（不連通）正交群也是自然的。表中所列即為所謂連通緊實形式群；在複數域中有相應的類比，以及多種非緊形式，例如，和緊正交群一起可考慮不定正交群。這些群相應的李代數稱為「典型李代數」。

一般域或環上的典型群

在代數中，通常會考慮任意環 ${\displaystyle R}$ 上的典型群，給出特別值得關注的矩陣群。當矩陣群的係數環是實數或複數域時，這些群就是上述的典型李群。

當係數環是有限域時，典型群是李型群。這些群在有限單群的分類中扮演着重要的角色。在群論中，許多線性群有一個「特殊的」子群，常常由行列式為 ${\displaystyle 1}$ 的元素組成，大部分有一個伴隨的「投影」群，它們是除掉該群中心的商群。

「一般」一詞在群的名稱前面通常表示這個群可以用常數乘以某個形式，而不是保持不變。下標 ${\displaystyle n}$ 經常表示群作用的模之維數。特別注意：這種記法和 Dynkin 圖中的 ${\displaystyle n}$（為秩）可能衝突。

一般與特殊線性群

一般線性群 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$ 是某個模的自同構群。有子群特殊線性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(R)}$ ，以及商群射影一般線性群 ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(R)}$ 和射影特殊線性群 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(R)}$ 。當 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的時候，${\displaystyle R}$ 上的射影特殊線性群 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(R)}$ 為單群。

酉群

酉群 U_n(R) 是保持某個模的半雙線性形式的群。有子群特殊酉群 SU_n(R)，以及他們的商群射影酉群 PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) 與射影特殊酉群 PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R))。

辛群

辛群 Sp_2n(R) 保持一個模的斜對稱形式。它有一個商群射影辛群 PSp_2n(R)。將模的斜對稱形式乘以一個可逆純量的所有自同構組成一般辛群 GSp_2n(R) 。除了 n=1 且域的階數為 2 或 3 這兩個例外，域 R 上射影辛群 PSp_2n(R) 是單群。

正交群

正交群 O_n(R) 保持一個模的非退化二次型。有子群特殊正交群 SO_n(R)，以及商群射影正交群 PO_n(R) 與射影特殊正交群。在特徵為 2 時，行列式總是 1，故特殊正交群常定義為 Dickson 不變量為 1 的元素。

有一個沒有名字的群，經常記為 Ω_n(R)，由所有 Spinor 模為 1 的正交群中元素組成。相應的子群和商群為 SΩ_n(R)，PΩ_n(R)，PSΩ_n(R)（對實數域上正定二次型，群 Ω 就是正交群，但一般要比正交群小）。Ω_n(R) 也有一個二重覆蓋群，稱為 Spin 群 Spin_n(R)。一般正交群由在二次型上的作用為乘以一個可逆純量的自同構組成。

參見

• 記號習慣：李型群#符號問題

注釋

1. 就歷史來說，在克萊因時代，最明顯的例子是覆射影線性群，因為它是當時居統治地位的幾何觀念的複射影空間的對稱群。向量空間後來才出現（事實上作為抽象的代數概念由外爾引入），引起對它們的對稱群一般線性群的關注。在朗蘭茲綱領的發展中，一般線性群成為最簡單和普遍的主要情形。

參考文獻

• Artin, Emil, Geometric algebra, Interscience Publishers, 1957, ISBN 0471608394
• Dieudonné, Jean, La géométrie des groups classiques, Springer, 1955, ISBN 1-114-75188-X
• Weyl, Hermann, The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1939, ISBN 0-691-05756-7
• V. L. Popov, Classical group, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4