緊算子

在數學分支泛函分析中，一個緊算子(英語：Compact operator)是從巴拿赫空間X到另一個巴拿赫空間Y的線性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的像集是Y的相對緊子集。這樣的算子必然是有界算子，因此是連續的。

任意有限秩的有界算子L是緊算子；事實上，緊算子是有限秩算子在無限維情形下的自然推廣。當Y是希爾伯特空間時，任意緊算子都是有限秩算子的極限，因此緊算子集合可以被替換地定義為有限秩算子在算子範數意義下的閉包。這一性質對於巴拿赫空間（漸進性）是否成立是多年來未解決的問題；最後Per Enflo給出了一個反例。

緊算子理論的起源於積分方程理論，積分算子給出這樣算子的具體例子。 典型的Fredholm積分方程給出函數空間上的緊算子K；緊性由等度連續性得出。利用有限秩算子近似是數值求解這種方程的基本方法。Fredholm算子的抽象概念也由此得出。

等價描述

有界算子T:X→Y是緊的，當且僅當以下任一項為真

• X中的閉單位球在T下的像在Y中相對緊。
• 任意有界集在T下的像在Y中相對緊。
• 任意有界集在T下的像在Y中是完全有界的。
• 存在0點的鄰域，${\displaystyle U\subset X}$，以及緊集${\displaystyle V\subset Y}$使得${\displaystyle T(U)\subset V}$。
• 對於X中單位球中的任意序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，序列${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$包含一個柯西子序列。

注意到如果線性算子是緊的，那麼很容易得出它是有界的，因此也是連續的。

重要性質

在下文中，X、Y、Z、W是巴拿赫空間，B(X,Y)是從X到Y賦有算子範數的有界算子空間，K(X, Y)是從X到Y的緊算子空間，B(X) = B(X, X)， K(X) = K(X, X)，${\displaystyle id_{X}}$是X上的恆等算子。

• K(X,Y)是B(X,Y)的閉子空間：令T_n，n ∈ N，是從一個巴拿赫空間到另一個巴拿赫空間的緊算子序列，假設T_n依算子範數收斂於T。那麼T也是緊的。
• 相反的，如果X、Y是希爾伯特空間，則從X到Y的每個緊算子都是有限秩算子的極限。值得注意的是，這對於一般的巴拿赫空間X和Y是錯誤的。
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z)}$。特別地，K(X)是B(X)中的雙邊理想。
• ${\displaystyle id_{X}}$是緊的當且僅當X是有限維空間。
• 對於任意T∈K(X)，${\displaystyle id_{X}-T}$是指標為0的Fredholm算子。特別地，${\displaystyle \operatorname {im} \,(id_{X}-T)}$是閉的。這對於研究緊算子的譜性質至關重要。可以注意到這個性質和如下事實之間的相似性：如果M和N是巴拿赫空間的子空間，其中M是閉的並且N是有限維的，則M+N也是閉的。
• 任何緊算子都是嚴格奇異的，反之則不然。^[1]
• 一個算子是緊的當且僅當其伴隨是緊的（Schauder定理）。

積分方程理論中的原型

緊算子的一個關鍵性質是Fredholm二擇一，它斷言如下形式線性方程的解的存在性

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f\,}$

（其中K是緊算子，f是給定函數，u是要求解的未知函數）的表現和有限維情形非常類似。然後可以得出緊算子的譜理論，由弗里傑什·里斯（1918）給出。 它表明在無限維巴拿赫空間上的緊算子K的譜或者是包括0點的C的有限子集，或者是C的可數無窮子集，且包含0點作為其唯一的極限點。此外，在任一情況下，譜的非零元素是K的有限重特徵值（所以K-λI對於所有複數λ≠0有有限維核）。

緊算子的一個重要例子是Sobolev空間的緊嵌入，它與Gårding不等式和Lax-Milgram定理可以用於將橢圓邊值問題轉換成Fredholm積分方程。^[2]解的存在性和譜性質可以由緊算子理論得出; 特別地，有界區域上的橢圓邊界值問題有無窮多的孤立特徵值。 由此得出的一個結果是固體只能在由特徵值給出的孤立頻率下振動，並且總是存在任意高的振動頻率。

從巴拿赫空間到自身的緊算子構成空間中所有有界算子的代數的雙邊理想。事實上，無限維可分希爾伯特空間上的緊算子構成極大理想，所以商代數（被稱為Calkin代數）是單代數。 更一般地，緊算子構成一個算子理想。

希爾伯特空間上的緊算子

在希爾伯特空間上緊算子的等價定義可以如下給出。

無限維希爾伯特空間${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上的算子${\displaystyle T}$

${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

被認為是緊的，如果它可以寫成如下形式

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,}$，

其中${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$和${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$是（不必要完備）標準正交基，且${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$是極限為零的正數序列，被稱為算子的奇異值。奇異值只可能在零點聚集。 如果序列固定在零點，即${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$對某個${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$和所有${\displaystyle k=1,2,\dots }$，則算子有有限秩（也即有有限維值域），且可以寫作

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,}$。

尖括號${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$是希爾伯特空間上的標量積;右邊的和依算子範數收斂。

緊算子的一個重要子類是跡類算子（或被稱為核型算子）。

全連續算子

令X和Y是巴拿赫空間。一個有界線性算子T:X →Y被稱為是全連續的，如果對於X中任意弱收斂序列${\displaystyle (x_{n})}$，序列${\displaystyle (Tx_{n})}$在Y中依範數收斂(Conway 1985，§VI.3)。巴拿赫空間上的緊算子總是全連續的。如果X是一個自反巴拿赫空間，則每個全連續算子T:X→Y是緊的。

有點容易混淆的是，緊算子在舊的文獻中有時被稱為「全連續的」，即使在今天的術語中它們不一定是全連續的。

例子

• 所有有限秩算子都是緊的。
• 對於${\displaystyle \ell ^{p}}$和收斂到零的序列(t_n)，乘法算子(Tx)_n=t_nx_n是緊的。
• 對某個固定的g∈C([0,1];R),定義從C([0,1];R)到C([0,1];R)的算子如下

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$

由阿爾澤拉－阿斯科利定理可知算子T是緊的。

• 更一般地，如果Ω是Rⁿ中的任意集合，並且積分核k:Ω×Ω→R是希爾伯特-施密特核，則L²(Ω;R)上的算子T如下定義

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

是一個緊算子。

• 由Riesz引理，恆等算子是一個緊算子當且僅當空間是有限維的。

另請參閱

• 緊算子的譜理論（英語：Spectral theory of compact operators）
• Fredholm算子（英語：Fredholm operator）
• Fredholm積分方程（英語：Fredholm integral equation）
• Fredholm二擇一（英語：Fredholm alternative）
• 緊嵌入（英語：Compact embedding）
• 嚴格奇異算子（英語：Strictly singular operator）

參考文獻

1. N.L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, (2005) London Mathematical Society Student Texts 64, Cambridge University Press.
2. William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press, 2000

• Conway, John B. A course in functional analysis. Springer-Verlag. 1985. ISBN 3-540-96042-2.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 Second. New York: Springer-Verlag. 2004: 356. ISBN 0-387-00444-0. (Section 7.5)
• Kutateladze, S.S. Fundamentals of Functional Analysis. Texts in Mathematical Sciences 12 Second. New York: Springer-Verlag. 1996: 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.